СОР И СОЧ Алгебра и начала анализа10 класс (естественно-математическое направление)

Сборник заданий формативного оценивания
по предмету «Алгебра и начала анализа»
10 класс
(естественно-математическое направление)
Нур-Султан,2019
2
Уважаемый учитель!
Коллективная работа учителей позволила разработать настоящий сборник заданий в
качестве обучающего пособия в помощь учителю в рамках внедрения обновленного
содержания образования. Задания с критериями оценивания и дескрипторами являются
образцами, которые помогут предоставлять обучающимся конструктивную обратную связь по
достижению целей обучения, подбирать и разрабатывать аналогичные задания, планировать
уроки и проводить формативное оценивание.
Рекомендательный характер сборника предоставляет возможность Вам
адаптировать, дополнять и вносить изменения в задания с учетом возможностей и
потребностей обучающихся.
Дополнительные материалы (руководства, презентации, планы и др.), возможность
обсуждения на форумах и видеоинструкции Вы можете найти на официальном сайте АОО
«Назарбаев Интеллектуальные школы» smk.edu.kz.
Плодотворной работы и творческих успехов!
Сборник предназначен для учителей старшей школы, методистов, региональных и
школьных координаторов по критериальному оцениванию и других заинтересованных лиц.
При подготовке сборника использованы ресурсы (рисунки, тексты, видео- и
аудиоматериалы и др.), находящиеся в открытом доступе на официальных интернет- сайтах.
Сборник разработан в некоммерческих целях.
3
СОДЕРЖАНИЕ
1 четверть 4
Раздел: Функция, ее свойства и график 4
Раздел: Тригонометрические функции 14
Раздел: Обратные тригонометрические функции 20
2 четверть 26
Раздел: «Тригонометрические уравнения» 26
Раздел: «Вероятность» 37
3 четверть 49
Раздел: Многочлены 49
Раздел: Предел функции и непрерывность 63
Раздел: Производная 69
4 четверть 79
Раздел: Применение производной 79
Раздел: Случайные величины и их числовые характеристики 88
4
1 четверть
Раздел: Функция, ее свойства и график
Цель обучения 10.4.1.1 Знать определение и способы задания функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет функциональную зависимость
 Различает способы задания функции
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Среди зависимостей, предложенных ниже, найдите функциональные:
A) зависимость площади квадрата от его стороны;
B) зависимость периметра квадрата от его стороны;
C) зависимость количества купленных конфет от размера сумки;
D) зависимость расстояния, пройденного за одно и тоже время от длины ног.
Дескриптор: Обучающийся
— распознает функциональную зависимость.
Задание 2
На рисунке 1 изображен шестиугольник ABCDEF, составленный из двух прямоугольников,
причем AB=10, BC=CD=3, DE=2
Рис.1
Используя условие задачи, выразите площадь S(x) закрашенной части многоугольника
ABCDEF, как функцию от длины отрезка AM1= x
Дескриптор: Обучающийся
— находит площадь части многоугольника;
— составляет выражение для определения площади закрашенной части;
— выражает эту площадь как функцию от x.
Задание 3
Открытая сверху коробка объемом 36 дм
3
имеет форму прямоугольного параллелепипеда с
отношением сторон основания 1:2. Выразите высоту этой коробки как функцию, зависящую
от стороны основания.
Дескриптор: Обучающийся
— вводит переменные для составления выражения;
— составляет выражение для объема прямоугольного параллелепипеда;
— выражает высоту коробки как функцию от стороны основания.
5
Цель обучения 10.4.1.2 Уметь выполнять преобразования графика функции
(параллельный перенос, сжатие и растяжение)
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет способ преобразования графика функции
 Применяет параллельный перенос графика функции
 Применяет сжатие и растяжение при работе с графиком
функции
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
График функции
х у 
сдвинули вправо на 2 единицы, а затем вниз на 3 единицы. Укажите
полученную функцию.
A)
3 2    х у
B)
3 2    х у
C)
3 2    х у
D)
3 2    х у
Е)
2 3    х у
F)
2 3    х у
G)
2 3    х у
H)
2 3    х у
Дескриптор: Обучающийся
— использует смещение по оси абсцисс;
— использует смещение по оси ординат;
— указывает полученную функцию.
Задание 2
Как нужно преобразовать график функции у = х
2
, чтобы получить график функции у=(х-1)
2
?
A) симметричное отражение графика относительно прямой у=1;
B) симметричное отражение графика относительно прямой x=1;
C) параллельный перенос графика вдоль оси ординат на 1 единицу вниз;
D) параллельный перенос графика вдоль оси ординат на 1 единицу вверх;
E) параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево;
F) параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо.
Дескриптор: Обучающийся
— распознает способ преобразования графика функции по ее уравнению.
Задание 3
Рис. 1
6
На рисунке 1 показан эскиз кривой y=f(x). Кривая пересекает ось Ох в точке (4;0), касается этой
оси в точке (1;0) и пересекает ось Оу в точке (0;3). Постройте график кривой:
a) 𝑧 = 𝑔(𝑦 + 1)
b) 𝑧 = 2𝑔(𝑦)
c) 𝑧 = 𝑔 (
1
2
𝑦)
Запишите точки пересечения каждого графика с осями координат.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет вид преобразования графика функции;
— использует параллельный перенос/сжатие / растяжение;
— находит точки пересечения с осью Ох;
— находит точки пересечения с осью Oy.
Задание 4
Какое преобразование графика функции f(x)=
1
𝑥
было выполнено для построения графика
функции f(x)=
6
𝑥−3
:
A) растяжение графика относительно оси ординат;
B) параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на 3 единицы влево;
C) растяжение графика относительно оси ординат, параллельный перенос графика
вдоль оси абсцисс на 3 единицы влево;
D) сжатие графика относительно оси ординат, параллельный перенос графика вдоль оси
абсцисс на 3 единицы влево;
E) растяжение графика относительно оси абсцисс, параллельный перенос графика вдоль
оси абсцисс на 3 единицы влево.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет смещения графика относительно осей координат;
— определяет растяжение / сжатие графика функции/параллельный перенос.
7
Цель обучения 10.4.1.3 Уметь определять свойства функции
10.4.1.4 Уметь описывать по заданному графику функции её
свойства:
1) область определения функции;
2) область значений функции;
3) нули функции;
4) периодичность функции;
5) промежутки монотонности функции;
6) промежутки знакопостоянства функции;
7) наибольшее и наименьшее значения функции;
8) четность, нечетность функции;
9) ограниченность функции;
10) непрерывность функции;
11) экстремумы функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет область определения и множество значений
функции
 Находит нули и промежутки знакопостоянства функции
 Определяет промежутки монотонности и экстремумы
функции
 Исследует функцию на четность и периодичность
 Находит наибольшее и наименьшее значение функции
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Сколько целых чисел входит в область определения функции f (x) =
14 9
3
2
  x x
?
Дескриптор: Обучающийся
— составляет неравенство, используя свойства квадратного корня;
— выбирает способ решения неравенства;
— решает неравенство;
— находит область определения функции;
— определяет количество целых чисел, входящих в область определения.
Задание 2
На рисунке 1 изображен график функции y=f(x). Область ее определения-отрезок [-3;1,2].
Найдите:
a) нули функции;
b) промежутки знакопостоянства функции;
c) экстремумы функции;
d) промежутки убывания и возрастания функции;
e) наибольшее и наименьшее значение функции;
f) область значений функции.
8
Рис. 1
Дескриптор: Обучающийся
— находит нули функции;
— записывает промежутки знакопостоянства функции;
— находит экстремумы функции;
— указывает промежутки убывания функции;
— указывает промежутки возрастания функции;
— определяет наибольшее значение функции;
— определяет наименьшее значение функции;
— область значений функции.
Задание 3
Укажите графики четной функции, изображенные на рисунке:
Рис. 1 Рис. 2
9
Рис. 3 Рис. 4
Дескриптор: Обучающийся
— использует свойства графика четной функции;
-указывает график четной функции.
10
Цель обучения
10.4.1.5 Определять свойства
0 , 


 c
d cx
b ax
y
дробно-линейной функции и строить ее график
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет свойства дробно-линейной функции
 Строит график дробно-линейной функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Для функции f(x)=
3𝑥+10
2𝑥+4
найдите:
a) асимптоты;
b) точки пересечения с осями координат;
c) любые две точки, принадлежащие графику функции.
Используя эти данные, постройте график функции.
Дескриптор: Обучающийся
— выделяет из дроби целую часть;
— находит вертикальную асимптоту;
— находит горизонтальную асимптоту;
— находит точки пересечения с осью абсцисс;
— находит точки пересечения с осью ординат;
— находит точки, принадлежащие графику функции;
— строит график функции.
Задание 2
Дробно-линейная функция задана уравнением: 𝑔(𝑦) =
𝑏𝑥−1
3𝑥−𝑐
. Асимптоты функции имеют
уравнения 𝑦 = 2, 𝑧 = 1.
a) Найдите значение переменных a и b;
b) Приведите функцию к виду 𝑧 = 𝑜 +
𝑘
𝑥+𝑛
;
c) Найдите точки пересечения функции с осями координат;
d) Постройте график функции.
Дескриптор: Обучающийся
— использует вертикальную асимптоту;
— использует горизонтальную асимптоту;
— выбирает способ преобразования;
— приводит функцию к заданному виду;
— определяет точки пересечения функции с осью абсцисс;
— определяет точки пересечения функции с осью ординат;
— строит график функции.
11
Цель обучения 10.4.1.6 Знать определение обратной функции и находить
функцию, обратную заданной и знать свойство
расположения графиков взаимно обратных функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит функцию, обратную заданной функции
 Использует свойство расположения графиков взаимно-обратных функций
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Найдите функцию g (x), обратную функции 𝑔(𝑦) =
2𝑦−1
3
.
Дескриптор: Обучающийся
— выражает одну переменную через другую;
— выполняет преобразования;
— находит обратную функцию.
Задание 2
Выберите график той функции, которая обратима в своей области определения.
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис.4
Дескриптор: Обучающийся
— определяет монотонность функции;
— использует условие существования обратной функции;
— указывает обратимую функцию.
12
Задание 3
На рисунке изображен график функции y= f(x). Найдите значение выражения g (–2) + g (–4),
если g (x) – функция, обратная для f(x).
Дескриптор: Обучающийся
— использует свойство расположения графиков взаимно-обратных функций;
— находит значение выражения.
Задание 4
Для функции f (x)=𝑦
3
+ 2 найдите h (-998), если h(x) -обратная функция для f (x).
Дескриптор: Обучающийся
— использует свойство взаимно-обратных функций;
— находит значение выражения.
13
Цель обучения 10.4.1.7 Уметь распознавать сложную функцию f(g(x)) и
составлять композицию функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет сложную функцию
 Составляет композицию функций двух и более функций
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Для функций f(x)=3х +4 и g(x)= 2х– p, где p — постоянное число, найдите:
a) f(g(x));
b) g(f(x));
c) значение p, если f(g(x)) = g(f(x));
d) если p=3, найдите значение функции f(g(x)) для x= – 1.
Дескриптор: Обучающийся
— подставляет выражение вместо аргумента;
— составляет сложную функцию f(g(x));
— составляет сложную функцию g(f(x));
— составляет уравнение;
— находит значение параметра;
— находит значение функции f(g(x));
Задание 2
Для функции f (x)=𝑦
3
+ 2 и g(x)=2𝑦 − 5, найдите:
a) g(f(x));
b) значение функции g(f(x)) при x=3;
Дескриптор: Обучающийся
— подставляет выражение (значение) вместо аргумента;
— составляет сложную функцию g(f(x));
— находит значение функции g(f(x)).
14
Раздел: Тригонометрические функции
Цель обучения 10.2.3.1 Знать определения, свойства тригонометрических
функций и уметь строить их графики
Критерий оценивания Обучающийся
 Устанавливает соответствие между формулой и
графиком функций
 Определяет свойства тригонометрических функций
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Установите соответствие между графиком функции и ее уравнением.
График функции Формула функции
A) y= ctgx
B) y= tgx
C) y=sinx
D) y= cosx
15
Дескриптор: Обучающийся
— указывает график функции y= ctgx;
— указывает график функции y= tgx;
— указывает график функции y=sinx;
— указывает график функции y= cosx.
Задание 2
1) Используя график функции 𝑧 = cos 𝑦, укажите:
a) наибольшее значение функции;
b) нули функции;
c) монотонность на промежутке (0; π).
2) График данной функции:
a) симметричен относительно начала координат;
b) симметричен относительно оси ординат;
c) симметричен относительно оси абсцисс.
Дескриптор: Обучающийся
— находит наибольшее значение функции;
— находит нули данной функции;
— определяет монотонность функции на заданном промежутке;
— определяет симметричность графика функции.
Задание 3
1) Используя график функции 𝑧 = tg 𝑦, определите:
a) значения х, при которых функция определена;
b) нули функции;
c) монотонность функции на промежутке (−
π
2
;
π
2
).
2) График данной функции:
a) симметричен относительно начала координат;
b) симметричен относительно оси ординат;
c) симметричен относительно оси абсцисс.
16
Дескриптор: Обучающийся
— находит область определения функции — находит нули данной функции;
— определяет монотонность функции на заданном промежутке;
— определяет симметричность графика функции.
17
Цель обучения 10.2.3.2 Уметь строить графики тригонометрических
функций с помощью преобразований
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет виды преобразований графиков функций
 Применяет параллельный перенос при построении
графиков тригонометрических функций
 Применяет сжатие / растяжение при построении
графиков тригонометрических функций
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Установите соответствие между графиком функции и ее уравнением.
График функции Формула функции
1)
x 0
y
1
2

a)
1
cos
2
yx 
2)
x
0
y
1
2

b)
sin 1 yx 
3)
x
y
0
1
2


2

c)
cos
2
yx    

4)
x 0
y
1
2

d)
sin 2 yx 
Дескриптор: Обучающийся
— использует преобразования графиков функций;
— устанавливает соответствие между графиком функции и ее уравнением.
18
Задание 2
На рисунке показана часть графика функции 𝑧 = 𝑘 sin(𝑦 +
𝜋
3
), для 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝜋, где k -постоянное число. Кривая пересекает ось ординат в точке C(0,√3), а ось абсцисс в точках
𝐵(𝑞, 0) и 𝐶(𝑟, 0).
a) Покажите, что k=2;
b) Найдите значения p и q.
Дескриптор: Обучающийся
— находит точку пересечения функции с осью ординат;
— показывает, что коэффициент 𝑘 = 2;
— использует смещение графика функции y = sin(𝑦);
— находит значения p и q.
Задание 3
Дана функция у=t𝑕 𝑦.
a) Запишите цепочку преобразований, с помощью которой из этого графика можно
получить график функции у=−t𝑕(2𝑦 −
𝜋
3
) .
b) Постройте график функции у=−t𝑕(2𝑦 −
𝜋
3
) .
Дескриптор: Обучающийся
— использует график функции у= t𝑕 𝑦 ;
— определяет симметрию относительно оси ординат;
— определяет сжатие вдоль оси абсцисс;
— определяет смещение по оси абсцисс;
— строит график функции, используя полученные данные.
19
Цель обучения 10.2.3.3 Знать определения арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь находить их значения
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует определения арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса
 Находит значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса,
арккотангенса
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Установите истинность или ложность утверждений.
Утверждение Истина Ложь
𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜 1 > 𝑏𝑠𝑑𝑑𝑝𝑡 1
𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜
1
2
> 𝑏𝑠𝑑𝑑𝑝𝑡
1
2
𝑏𝑠𝑑𝑑𝑝𝑡
√3
2
< 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜
1
2
𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜 0 > 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜 1
Дескриптор: Обучающийся
— использует определения обратных тригонометрических функций;
— использует табличные значения тригонометрических функций;
-устанавливает истинность или ложность утверждений.
Задание 2
Заполните таблицу.
a -1 √3 -1
√3
arctg a
𝜋
3
5𝜋
6
Дескриптор: Обучающийся
— использует значения функции y=tg x;
— находит значения а;
— находит значения arctg a.
Задание 3
Вычислите:
a) 𝑏𝑠𝑑𝑑𝑝𝑡
1
2
+ 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜
1
2
– arctg1;
b) 𝑏𝑠𝑑𝑑𝑝𝑡 1 + 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜
1
2
– arctg 0;
c) arctg (-√3
3
) + arctg √3 — 𝑏𝑠𝑑𝑑𝑢𝑕(− 1).
Дескриптор: Обучающийся
— находит значения арккосинуса;
— находит значение арксинуса;
— находит значение арктангенса;
— находит значение арккотангенса;
— находит значения выражений.
20
Раздел: Обратные тригонометрические функции
Цель обучения 10.2.3.4 Знать определения и свойства обратных
тригонометрических функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит значения обратных тригонометрических
функций
 Использует свойства обратных тригонометрических
функций
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Заполните таблицу.
Функция
Область
определения
Множество
значений
Промежутки
монотонности
Четность,
нечетность
y = 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜 𝑦
y = 𝑏𝑠𝑑𝑑𝑝𝑡 𝑦
y = arctg x
y = arcctg x
Дескриптор: Обучающийся
— находит область определения функций;
— находит множество значений функций;
— определяет промежутки возрастания функций;
— определяет промежутки убывания функций;
— определяет четность функций.
Задание 2
Найдите значение выражения:
a) 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜 (𝑡𝑖𝑜
𝜋
3
) + 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜(−
√3
2
);
b) sin ( 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜 ( 𝑡𝑖𝑜
𝜋
6
));
c) 𝑡𝑖𝑜 (𝑏𝑠𝑑𝑑𝑝𝑡 0,6 );
d) cos(2𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜
3
4
);
e) cos(𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜
2
5
− 𝑏𝑠𝑑𝑢𝑕
1
2
).
Дескриптор: Обучающийся
a)
— находит значения синуса;
— находит значения арксинуса;
b)
— находит значения синуса;
— находит значения арксинуса;
c)
— использует замену переменной;
— использует определение обратной тригонометрической функции;
— использует основное тригонометрическое тождество;
21
d)
— использует замену переменной;
— использует формулу двойного угла;
— использует определение обратной тригонометрической функции;
e)
— использует замену переменной;
— использует формулу косинуса разности;
— использует основные тригонометрические тождества;
— использует определение обратной тригонометрической функции.
Задание 3
Найдите область определения и множество значений функции.
a) f(x) = 2 arccos(2-5x);
b) f(x) = 3 — arcsin (3 +2x).
Дескриптор: Обучающийся
— использует область определения функций
; arcsin ) ( / arccos ) ( x x f x x f  
— применяет свойства неравенств;
— находит область определения каждой функции;
— использует множество значений функций
; arcsin ) ( / arccos ) ( x x f x x f  
— находит множество значений функций каждой функции;
22
Цель обучения 10.2.3.5 Строить графики обратных тригонометрических
функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Строит графики обратных тригонометрических
функций
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Постройте график функции y = arctg 2x.
Дескриптор: Обучающийся
-строит график функции y = arctg x;
— применяет преобразование графиков функций;
Задание 2
Установите соответствие между графиком функции и ее уравнением.
График функции Формула функции
y = arctg x
y = 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜 𝑦
y = arcctg x
y = 𝑏𝑠𝑑𝑑𝑝𝑡 𝑦
Дескриптор: Обучающийся
— определяет график арккосинуса;
23
— определяет график арксинуса;
— определяет график арктангенса;
— определяет график арккотангенса.
Задание 2
a) Для каждой функции найдите область определения и множество значений:
1) f(x) = — arccos 0,5x;
2) f(x) = arcsin 2x;
3) f(x) = 𝑏𝑠𝑑𝑢𝑕
𝑥
3
;
4) f(x) =
𝜋
4
— arcctg x.
b) Постройте графики данных функций.
Дескриптор: Обучающийся
a) — использует свойство аркфункции;
— находит область определения;
— находит множество значений;
b) — использует растяжение графика вдоль оси абсцисс;
— использует сжатие графика вдоль оси абсцисс;
— использует растяжение графика вдоль оси абсцисс;
— использует параллельный перенос вдоль оси ординат.
24
Цель обучения 10.2.3.6 Выполнять преобразования выражений, содержащих
обратные тригонометрические функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Выполняет преобразования выражений, содержащих
обратные тригонометрические функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Вычислите:
a) sin( arccos
2
3
); b) cos ( arctg(-2)); c) arccos(cos
𝜋
7
); d) cos(arcsin
3
5
).
Дескриптор: Обучающийся
— использует свойства обратных тригонометрических функций;
-применяет основные тригонометрические тождества;
— выполняет преобразования;
— находит значение выражений.
Задание 2
Докажите тождество:
a) cos(arcsin x )= √1 − 𝑦
2
;
b) tg (arcsinx) =
𝑥
√1−𝑥
2
.
Дескриптор: Обучающийся
— использует определение и свойства обратных тригонометрических
функций;
— выполняет преобразования;
— доказывает тождество.
25
Цель обучения 10.2.3.7 Уметь решать простейшие уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
Критерий оценивания Обучающийся
Решает простейшие уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
Решите уравнение:
a) arccos (3x
2
— 10x +2,5) =
2𝜋
3
;
b) arcsin(3𝑦
2
− 4𝑦 − 1) = 𝑏𝑠𝑑𝑡𝑖𝑜 (𝑦 + 1);
c) arctg (х
2
– 9) = arctg (8х).
Дескриптор: Обучающийся
— использует область определения функции;
— использует определение обратной тригонометрической функции;
— использует монотонность функции;
— находит корни уравнений.
26
2 четверть
Раздел: «Тригонометрические уравнения»
Цель обучения 10.2.3.8 Уметь решать простейшие тригонометрические
уравнения
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает простейшие тригонометрические
уравнения, содержащие синус и косинус
 Решает простейшие тригонометрические
уравнения, содержащие тангенс и котангенс
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Решите уравнения.
a) sin 𝑦 =
1
2
;
b) tg 𝑦 = −1;
c) cos 3𝑦 = 0 .
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу нахождения корней простейшего уравнения для
синуса;
— использует формулу нахождения корней простейшего уравнения для
тангенса;
— использует формулу нахождения корней частного случая простейшего
уравнения для косинуса;
— находит решение уравнения.
Задание 2
a) Решите уравнение: sin(35° + 𝑦) =
√2
2
.
b) Найдите наименьший положительный корень уравнения.
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу нахождения корней простейшего уравнения для
синуса;
— находит общее решение уравнения;
— находит наименьший положительный корень;
Задание 3
a) Решите уравнение: ctg (
𝜋
4
−
𝑥
2
) = −1.
b) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [−3𝜋; 3𝜋].
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу нахождения корней простейшего уравнения для
котангенса;
— находит общее решение уравнения;
— находит корни уравнения на заданном промежутке.
27
Цель обучения 10.2.3.9 Уметь решать тригонометрические уравнения с
помощью разложения на множители
10.2.3.11 Уметь решать тригонометрические уравнения с
использованием тригонометрических формул
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает тригонометрические уравнения с помощью
разложения на множители
 Решает тригонометрические уравнения с
использованием тригонометрических формул
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Решите уравнения.
a) 3cos 𝑦 − sin 2𝑦 = 0 ;
b) 4 sin
𝑥
2
− cos 𝑦 + 1 = 0 ;
c) 𝑑𝑢𝑕
2
𝑦 − 𝑑𝑢𝑕
2
𝑦 𝑑 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 = 0;
d) cos 3𝑦 sin 7𝑦 = cos 2𝑦 sin 8𝑦;
e) 4 (1 + cos 𝑦 ) = 3 cos
𝑥
2
𝑡𝑖𝑜
2
𝑥
2
.
Дескриптор: Обучающийся
a) — использует формулу двойного угла для синуса;
— выносит общий множитель за скобки;
— использует формулы нахождения корней для синуса и косинуса;
— находит решение уравнения.
b)–использует формулу двойного угла для косинуса;
— раскладывает на множители;
— использует формулы нахождения корней;
— находит решение уравнения.
c)- выносит общий множитель за скобки;
— раскладывает уравнение на множители;
— использует формулы нахождения корней;
— находит общее решение уравнения.
d) — использует формулу преобразования произведения в сумму;
— выносит общий множитель за скобки;
— использует формулы нахождения корней;
— находит решение уравнения.
e) — использует формулу суммы косинусов и суммы синусов;
— выносит общий множитель за скобки;
— использует формулы нахождения корней;
— находит решение уравнения.
28
Цель обучения 10.2.3.12 Уметь решать однородные тригонометрические
уравнения
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает однородные тригонометрические уравнения
первой степени
 Решает однородные тригонометрические уравнения
второй степени
 Решает однородные тригонометрические уравнения
высших степеней
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Решите уравнения.
a) 2𝑡𝑖𝑜 𝑦 − 3 𝑑𝑝𝑡 𝑦 = 0 ;
b) 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 + 4 𝑡𝑖𝑜
2
𝑦 = 2 sin 2𝑦;
c) 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 − 2 𝑡𝑖𝑜 𝑦 𝑑𝑝𝑡 𝑦 = 3 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦;
d) 6 𝑡𝑖𝑜
2
𝑦 − 3 𝑡𝑖𝑜 𝑦 𝑑𝑝𝑡 𝑦 − 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 = 1;
e) 2 𝑡𝑖𝑜
4
𝑦 − 3 𝑡𝑖𝑜
2
𝑦 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 − 9 𝑑𝑝𝑡
4
𝑦 = 0.
Дескриптор: Обучающийся
— проверяет, что 𝑑𝑝𝑡 𝑦 ≠ 0
— делит обе части уравнения на cosx,
— решает простейшее уравнение.
— при необходимости использует формулы тригонометрии;
— приводит уравнение к однородному;
— делит обе части уравнения на cos
2
x;
— приводит уравнение к квадратному;
— вводит новую переменную;
— решает квадратное уравнение;
— находит решение уравнения.
— делит обе части уравнения на cos
4
x;
— приводит уравнение к биквадратному;
— вводит новую переменную;
— решает полученное уравнение;
— находит решение уравнения.
Задание 2
a) Решите уравнение: 𝑡𝑖𝑜
2
𝑦 − 10 𝑡𝑖𝑜 𝑦 𝑑𝑝𝑡 𝑦 + 9 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 = 0.
b) Найдите наименьшее решение данного уравнения, если 0° < 𝑦 < 90°.
Дескриптор: Обучающийся
— проверяет, что cos
2
x ≠ 0;
— делит обе части уравнения на cos
2
x;
— выполняет замену переменной;
— решает квадратное уравнение;
— находит общее решение уравнения;
— находит наименьшее решение на заданном промежутке.
29
Цель обучения 10.2.3.13 Уметь решать тригонометрические уравнения,
используя формулы понижения степени
тригонометрических функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет формулы понижения степени
тригонометрических функций для решения
тригонометрических уравнений
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание
Решите уравнения:
a) 𝑑𝑝𝑡
2
2𝑦 + 𝑑𝑝𝑡
2
3𝑦 = 1 ;
b) 𝑡𝑖𝑜
2
𝑦 + 𝑑𝑝𝑡
2
2𝑦 + 𝑡𝑖𝑜
2
3𝑦 =
3
2
;
c) 𝑡𝑖𝑜
4
𝑦 + 𝑑𝑝𝑡
4
𝑦 =
7
8
;
Дескриптор: Обучающийся
— применяет формулы понижения степени тригонометрических функций;
-применяет формулу суммы косинусов/раскладывает выражение на
множители;
— упрощает выражение;
— применяет формулу корней тригонометрических уравнений;
-решает каждое уравнение.
30
Цель обучения 10.2.3.14 Уметь решать тригонометрические уравнения
методом введения вспомогательного
аргумента
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает тригонометрические уравнения методом
введения вспомогательного аргумента
Уровень мыслительных
навыков
Применение
d) 𝑑𝑝𝑡
2
2𝑦 + 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 + 𝑑𝑝𝑡
2
3𝑦 + 𝑑𝑝𝑡
2
4𝑦 = 2;
e) 𝑡𝑖𝑜
2
4𝑦 + 𝑡𝑖𝑜
2
3𝑦 = 𝑡𝑖𝑜
2
5𝑦 + 𝑡𝑖𝑜
2
6𝑦 .
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу понижения степени;
— использует формулу суммы косинусов;
— раскладывает уравнение на множители;
— находит решение уравнения.
Задание 3
a) Решите уравнение 𝑡𝑖𝑜
2
2𝑦 + 𝑡𝑖𝑜
2
3𝑦 + 𝑡𝑖𝑜
2
5𝑦 + 𝑡𝑖𝑜
2
4𝑦 = 2.
b) Найдите число корней уравнения, принадлежащих промежутку [0 ;
𝜋
2
].
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулы понижения степени;
— группирует слагаемые;
— использует формулу суммы косинусов;
Задание 1
a) Используя метод введения вспомогательного аргумента, покажите, что уравнение
√3 𝑡𝑖𝑜 𝑦 + 𝑑𝑝𝑡 𝑦 = √2 можно привести к виду 𝑡𝑖𝑜 (𝑦 +
𝜋
6
) =
√2
2
.
b) Найдите решение уравнения √3 𝑡𝑖𝑜 𝑦 + 𝑑𝑝𝑡 𝑦 = √2 на промежутке (90°; 180°).
Дескриптор: Обучающийся
— делит обе части уравнения на необходимое число;
— вводит вспомогательный аргумент;
— использует формулу сложения аргументов;
— показывает равносильность уравнений;
— решает простейшее тригонометрическое уравнение;
— находит корни уравнения на заданном промежутке.
Задание 2
Решите уравнения.
a) sin 𝑦 + 𝑑𝑝𝑡 𝑦 = 1;
b) cos
𝑥
2
− sin
𝑥
2
=
√2
2
;
c) 3 sin 𝑦 + 4𝑑𝑝𝑡 𝑦 = 2.
Дескриптор: Обучающийся
— делит обе части уравнения на необходимое число;
— вводит вспомогательный аргумент;
— использует формулу сложения аргументов;
— показывает равносильность уравнений;
— решает простейшее тригонометрическое уравнение
31
— раскладывает уравнение на множители;
— находит решение уравнения;
— делает отбор корней уравнения, принадлежащих заданному промежутку;
— находит количество этих корней
32
Цель обучения 10.2.3.15 Уметь решать тригонометрические уравнения с
помощью универсальной подготовки
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает тригонометрические уравнения с помощью
универсальной подстановки
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Используя формулы универсальной подстановки, решите уравнения:
a) 3 𝑡𝑖𝑜 𝑦 + 4 𝑑𝑝𝑡 𝑦 = 5;
b) 3 𝑡𝑖𝑜 2𝑦 + 𝑑𝑝𝑡 2𝑦 + 1 = 0.
Дескриптор: Обучающийся
— применяет универсальную подстановку;
— использует замену переменной;
— решает полученное рациональное уравнение;
— проверяет, является ли корнем 𝑦 = 𝜋 + 2𝜋𝑜 .
Задание 2
Используя формулы универсальной подстановки, решите уравнение: 1 − 𝑑𝑝𝑡 6𝑦 = 𝑢𝑕 3𝑦.
Дескриптор: Обучающийся
— находит область допустимых значений уравнения;
— применяет универсальную подстановку для косинуса;
— использует замену переменной;
— решает полученное рациональное уравнение;
— проверяет, является ли корнем 𝑦 =
𝜋
2
+ 𝜋𝑜;
— находит общее уравнение с учетом ОДЗ.
33
Цель обучения 10. 2.3.16 Уметь решать системы тригонометрических
уравнений
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает системы тригонометрических уравнений
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Решите систему тригонометрических уравнений: {
𝑦 − 𝑧 = 𝜋 ,
sin 𝑦 − sin 𝑧 = 2 .
Дескриптор: Обучающийся
— выражает переменную x из первого уравнения;
— подставляет во второе уравнение;
— использует формулу разности синусов для второго уравнения;
— получает систему линейных уравнений;
— находит решение системы линейных уравнений.
Задание 2
Решите систему тригонометрических уравнений: {
sin 𝑦 + cos 𝑧 = 0,
𝑡𝑖𝑜
2
𝑦 + 𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 =
1
2
Дескриптор: Обучающийся
— делает замену переменных;
— решает полученную систему уравнений способом подстановки;
— находит значения x и y для каждой полученной пары;
— указывает разные целые числа для периода.
34
Цель обучения 10.2.3.17 Уметь решать простейшие тригонометрические
неравенства
10.2.3.18 Уметь решать тригонометрические неравенства
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает простейшие тригонометрические неравенства
 Решает тригонометрические неравенства
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Определите простейшие тригонометрические неравенства, решение которых изображено
на рисунках. Запишите ответ для каждого неравенства.
Неравенство Ответ
35
Дескриптор: Обучающийся
— определяет неравенство для синуса;
— определяет неравенство для косинуса;
— определяет неравенство для тангенса;
— определяет неравенство для котангенса;
— записывает решение неравенств.
Задание 2
Решите неравенство:
a) tg (𝑦 +
𝜋
4
) ≥ 1;
b) ctg (𝑦 +
𝜋
3
) < −1.
Дескриптор: Обучающийся
— вводит новую переменную, заменяя аргумент;
— изображает решение на тригонометрическом круге;
— определяет множество решений неравенства;
— записывает решение исходного неравенства.
Задание 3
Найдите решение неравенства:
√3
2
𝑑𝑝𝑡2𝑦 +
1
2
𝑡𝑖𝑜2𝑦 ≥
1
2
.
Дескриптор: Обучающийся
— изображает решение на тригонометрическом круге;
— определяет множество решений неравенства;
— вводит новую переменную, заменяя аргумент;
— использует метод введения вспомогательного аргумента;
— выполняет необходимые преобразования;
— находит решение неравенства.
Задание 4
Решите неравенство: |sin 2𝑦| ≤
√3
2
.
Дескриптор: Обучающийся
— записывает систему неравенств/двойное неравенство;
— вводит новую переменную, заменяя аргумент;
— изображает решение на тригонометрическом круге;
— определяет множество решений неравенства;
— записывает ответ на любой дуге, уменьшив период в два раза.
36
Задание 5
Найдите область определения функции 𝑧 = √4𝑑𝑝𝑡
2
𝑦 − 3.
Дескриптор: Обучающийся
— использует свойство арифметического квадратного корня;
— получает квадратное неравенство относительно косинуса;
— использует формулу понижения степени;
— решает простейшее тригонометрическое неравенство.
37
Раздел: «Вероятность»
Цель обучения 10.3.1.2 Применять формулы для вычисления
перестановок, сочетаний, размещений без
повторений
10.3.1.3 Применять формулы для вычисления перестановок,
сочетаний, размещений с повторениями
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает задачи, используя формулы для вычисления
перестановок, сочетаний, размещений без
повторений
 Применяет формулы для вычисления перестановок,
сочетаний, размещений с повторениями при
решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
В корзине размещены карточки, на которых написаны целые числа от 1 до 10. Из корзины
вынимают 4 карточки и суммируют числа, написанные на них. Найдите, сколько
различных наборов карточек можно вытащить из корзины.
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу нахождения числа сочетаний без повторений;
— выполняет вычисления;
— находит количество различных наборов.
Задание 2
В морозилке лежат 5 порций мороженого от различных фирм. Найдите сколькими
способами можно выбрать порядок их употребления. Объясните свое решение.
Дескриптор: Обучающийся
— показывает, что каждый набор есть упорядоченная выборка без повторений;
— использует формулу нахождения числа перестановок без повторений;
— находит количество способов.
Задание 3
Мы находимся на конфетном заводе прямо возле конвейера, по которому движутся
конфеты четырех сортов. Мы запускаем руки в этот поток и вытаскиваем 10 штук. Сколько
всего различных «конфетных комбинаций» может оказаться в горсти?
Дескриптор: Обучающийся
— показывает, что каждый набор есть неупорядоченная выборка с
повторениями;
— использует формулу нахождения числа сочетаний с повторениями;
— выполняет вычисления;
— находит количество комбинаций.
Задание 4
Слова составляются на основе алфавита U= {𝑏, 𝑐, 𝑒}. Сколько различных слов из 7
символов может быть составлено, если в этих словах буква «a» должна повторяться 2 раза,
буква «b» — 1 раз, а буква «d» — 4 раза?
38
Дескриптор: Обучающийся
— показывает, что общее количество повторений всех символов равно
объему выборки;
— использует формулу нахождения числа перестановок с повторениями;
— вычисляет ответ.
39
Цель обучения 10.3.1.4 Решать задачи на нахождение вероятностей,
применяя формулы комбинаторики
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет число сочетаний при решении задач на
нахождение вероятностей
 Применяет число перестановок при решении задач на
нахождение вероятностей
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
На озере обитала стая из 40 диких лебедей.
a) Сколькими способами можно выбрать из них 4 лебедя?
b) Для изучения путей миграции 15 лебедей, обитавших на озере, были
окольцованы. Сколькими способами можно выбрать 4 окольцованных лебедей?
c) Через месяц другая группа ученых захотела поставить свои чипы на лебедях.
Какова вероятность того, что пойманные 4 диких лебедя окажутся
окольцованными?
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу сочетаний без повторений;
— использует формулу сочетаний без повторений;
— выполняет вычисления;
— находит вероятность по формуле классической вероятности.
Задание 2
Шесть школьников случайным образом рассаживаются на скамейку.
Найдите:
a) количество всех возможных комбинаций.
b) количество комбинаций, когда Коля и Оля будут сидеть рядом.
c) вероятность того, что Коля и Оля будут сидеть рядом.
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу перестановок без повторений;
— использует формулу перестановок без повторений, принимая два элемента
за один;
— находит вероятность по формуле классической вероятности.
Задание 3
a) Найдите, сколько различных семизначных чисел можно составить, используя
цифры: 1, 2, 2, 3,3, 4, 5.
b) Найдите, сколько различных четных семизначных чисел можно составить,
используя цифры: 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5.
c) Из семизначных чисел методом случайного выбора с возвращением взяты два.
Найдите вероятность того, что оба взятых числа являются четными.
Дескриптор: Обучающийся:
— использует формулу перестановок с повторениями;
— использует, что четное число оканчивается четной цифрой;
— использует формулу перестановок с повторениями;
40
— находит вероятность для каждого взятого числа по формуле
классической вероятности;
— применяет правило произведения.
41
Цель обучения 10.3.1.5 Применять Бином Ньютона для приближённых
вычислений (с натуральным показателем)
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет Бином Ньютона с натуральным
показателем для приближённых вычислений
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
a) Найдите первые четыре члена разложения ( 1 + 𝑦 )
5
по возрастанию степени x в
упрощенной форме.
b) Используя это разложение, найдите значение (1,0018)
5
с точностью до 0,0001.
Дескриптор: Обучающийся
— использует Бином Ньютона;
— находит первые четыре члена разложения;
— представляет десятичную дробь в виде суммы;
— использует разложение из a);
— оценивает третье слагаемое;
— находит сумму первого и второго слагаемых;
— записывает ответ.
Задание 2
a) Найдите первые четыре члена разложения ( 1 − 𝑦 )
5
по возрастанию степени x в
упрощенной форме.
b) Используя это разложение, найдите значение 4,98
5
с точностью до 0, 01.
Дескриптор: Обучающийся
— использует Бином Ньютона;
— находит первые четыре члена разложения;
— представляет десятичную дробь в виде разности;
— использует разложение из a);
— оценивает четвертое слагаемое;
— находит сумму первых четырех слагаемых;
— записывает ответ.
42
Цель обучения 10.3.2.1 Знать понятие случайного события, виды
случайных событий и приводить их примеры
10.3.2.2 Вычислять вероятность случайных событий,
применяя свойства вероятностей
Критерий оценивания Обучающийся
 Различает виды случайных событий
 Вычисляет вероятность случайного события,
применяя свойства вероятности
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Определите вид события.
Задание Предлагаемый вариант
Если появление события А влияет на
значение вероятности события В, то про
события А и В говорят, что они
A. совместные
B. несовместные
C. зависимые
D. независимые
Игральная кость брошена один раз.
Выпадение числа «4» на верхней грани,
является:
A. достоверным событием;
B. невозможным событием;
C. случайным событием;
D. зависимым событием.
Если в сосуде содержится вода при
нормальном атмосферном давлении и
температуре 20°С, то событие «вода в сосуде
находится в жидком состоянии» является…
A. достоверным событием;
B. невозможным событием;
C. случайным событием;
D. зависимым событием
При бросании игральной кости могут
произойти события
А= {число очков – четное},
В={число очков – нечетное}.
События А и В называются…
A. совместными;
B. несовместными;
C. зависимыми;
D. независимыми.
При бросании игральной кости могут
произойти события
В= {число очков – нечетное},
С= {число очков больше 3}.
События А и В называются…
A. совместными;
B. несовместными;
C. зависимыми;
D. независимыми.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет зависимые события;
— определяет случайное событие;
— определяет достоверное событие;
— определяет несовместные события;
— определяет совместные события.
Задание 2
В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова
вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?
Дескриптор: Обучающийся
— определяет число благоприятствующих событий;
43
— определяет число всех возможных событий;
— находит вероятность;
— делает вывод, что событие достоверное.
Задание 3
В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Дескриптор: Обучающийся
— определяет вид события;
— находит вероятность.
Задание 4
В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите
вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным, используя
формулу вероятности противоположного события.
Дескриптор: Обучающийся
— находит вероятность события;
— использует формулу вероятности противоположного события.
44
Цель обучения 10.3.2.3 Понимать и применять правила сложения
вероятностей
* P(A + B) = P(A) + P(B)
* P(A +B) = P(A) + P(B) – P(A ∙ B);
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет правило сложения вероятностей для
несовместных событий
 Применяет правило сложения вероятностей для
совместных событий
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислите
вероятность того, что не глядя будет взят не белый мячик.
Дескриптор: Обучающийся
— находит вероятность одного события;
— находит вероятность другого события;
— использует правило сложения для несовместных событий
Задание 2
Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по
выстрелу. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.
Дескриптор: Обучающийся
— использует правило сложения для совместных событий;
— находит вероятность.
45
Цель обучения 10.3.2.4 Понимать и применять правила умножения
вероятностей
* P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B)
* P(A ∙ B) = P(A) ∙ PA(B) = P(B) ∙ PB(A)
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет правило умножения вероятностей для
независимых событий
 Применяет правило умножения вероятностей для
зависимых событий
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по
выстрелу. Найдите вероятность того, что:
a) оба стрелка попадут в цель;
b)оба стрелка промахнутся;
c) первый стрелок попадет в цель и второй стрелок промахнется.
Дескриптор: Обучающийся
— использует правило умножения вероятностей для независимых событий;
— использует правило умножения вероятностей для противоположных
независимых событий;
— использует правило умножения вероятностей для независимых событий.
Задание 2
В мешке Деда Мороза находятся конфеты кондитерской фабрики, причем конфет
«Белочка» — 50 штук, конфет «Ажар» — 30 штук. Дед Мороз наугад вытаскивает и раздает
по одной конфете детям. Какова вероятность того, что:
a) первые два ребенка получат по конфете «Ажар»?
b) первые три ребенка получат конфеты в последовательности: «Ажар»- «Белочка»-«Белочка»?
Дескриптор: Обучающийся
— находит вероятность по классическому определению вероятности;
— использует правило умножения вероятностей для зависимых событий;
— вычисляет вероятность события.
46
Цель обучения 10.3.2.5 Знать формулу полной вероятности и применять
ее при решении задач
10.3.2.6 Знать формулу Байеса и применять ее при
решении задач
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет формулу полной вероятности при
решении задач
 Применяет формулу Байеса при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность
того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна
0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7.
Найдите вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один
выстрел из случайно выбранной винтовки.
Дескриптор: Обучающийся
— показывает полную группу независимых гипотез;
— находит вероятности гипотез по классическому определению
вероятностей;
— использует формулу полной вероятности.
Задание 2
В коробке лежат 3 синих и 7 красных кубиков. Наугад извлекают один кубик и записывают
его цвет. Вместо изъятого кубика в коробку помещают кубик другого цвета, затем
извлекают второй кубик.
a) Найдите вероятность того, что первый изъятый кубик красный.
b) Какова вероятность того, что второй изъятый кубик будет синим?
Дескриптор: Обучающийся
— находит вероятность события;
— находит вероятность противоположного события;
— находит вероятность события для второго шара (рассматривает два случая);
— использует формулу полной вероятности;
— находит вероятность.
Задание 3
В трех коробках лежат конфеты «Белочка», произведенные на двух фабриках «А» и «Б». В
первой коробке 30% конфет фабрики «Б», во второй – 40%, а в третьей – 50%. Наугад
выбрали коробку и из нее наугад вынули конфету. Какова вероятность, что извлеченная
конфета была
a) из первой коробки;
b )из второй коробки;
c) из третьей коробки, если известно, что она оказалась произведенной на фабрике
«Б»?
Дескриптор: Обучающийся
— находит вероятность извлечения конфеты фабрики «Б»;
— использует формулу полной вероятности;
— использует формулу Байеса;
— вычисляет вероятность.
47
Цель обучения 10.3.2.7 Знать условия для применения схемы
Бернулли и формулу Бернулли
10.3.2.8 Использовать формулу Бернулли и ее
следствия при решении задач
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет условия для применения схемы
Бернулли
 Решает задачи, используя формулу Бернулли и ее
следствия
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
На тренировке баскетболист бросает мяч в корзину из одной и той же позиции. Известно,
что вероятность попасть в корзину у баскетболиста равна 𝑞 = 0,6.
a) Какова вероятность того, баскетболист не попадет в корзину?
b) Какова вероятность, что из 10 бросков баскетболист попадет в корзину 6 раз?
Дескриптор: Обучающийся
— находит вероятность противоположного события;
— использует формулу Бернулли;
— использует формулу полной вероятности.
Задание 2
Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 60% изделий
первого сорта. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:
a) от 2 до 4 изделий первого сорта;
b) не менее 5 изделий первого сорта;
c) хотя бы одно изделие более низкого сорта.
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу Бернулли;
— использует формулу сложения вероятностей несовместных событий;
— использует вероятность противоположного события.
48
Цель обучения 10.4.2.3 Составлять вероятностные модели реальных
явлений и процессов
Критерий оценивания Обучающийся
 Составляет вероятностную модель реального явления
или процесса
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
Имеются три одинаковых на вид урны: в первой- 2 белых шара и 3 чёрных, во второй — 4
белых и один чёрный, в третьей — три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и
вынимает из неё один шар.
а) Пользуясь формулой полной вероятности, найдите вероятность того, что этот шар
будет белым.
b) Исходя из условий задания, составьте вероятностную модель по плану.
Опишите событие ___________________________________________________________
Сколько можно выдвинуть гипотез?____________________________________________
Опишите гипотезу №1________________________________________________________
Опишите гипотезу №2________________________________________________________
Опишите гипотезу №3________________________________________________________
Найдите вероятности каждой гипотезы__________________________________________
Найдите условные вероятности каждой гипотезы_________________________________
Запишите формулу полной вероятности_________________________________________
Найдите вероятность того, что шар будет белым__________________________________
Дескриптор: Обучающийся
— записывает, что за событие произошло;
— находит количество гипотез;
— описывает каждую гипотезу;
— находит вероятность каждой гипотезы;
— находит условные вероятности;
— записывает формулу полной вероятности;
— находит вероятность появления белого шара.
49
3 четверть
Раздел: Многочлены
Цель обучения 10.2.1.1 Знать определение многочлена с несколькими
переменными и приводить его к стандартному виду,
определять степень многочлена стандартного вида
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет многочлен с несколькими переменными и
его элементы
 Записывает многочлен в стандартном виде
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Задание 1
Дан многочлен: 8𝑦
4
𝑧 − 96 + 32𝑦
2
𝑧
2
𝑦
4
− 𝑧
2
∙ 8𝑦 − 96𝑦
3
𝑧.
a) Запишите данный многочлен в стандартном виде;
b) укажите свободный член многочлена;
c) определите степень многочлена.
Дескриптор: Обучающийся
— приводит многочлен к стандартному виду;
— находит старший коэффициент многочлена;
— находит свободный член многочлена;
— находит степень многочлена.
Задание 2
Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень:
(у𝑦
2
+ 6𝑦у)(𝑦
2
у
4
+ 6𝑦 + 4у)
Дескриптор: Обучающийся
— выполняет умножение многочленов;
— приводит подобные слагаемые;
— приводит многочлен к стандартному виду;
— находит степень многочлена.
50
Цель обучения 10.2.1.2 Уметь распознавать симметрические и однородные
многочлены
Критерий оценивания Обучающийся
 Распознает симметрические и однородные многочлены
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Задание 1
Среди заданных многочленов определите.
Симметрические
многочлены
Однородные многочлены
А)
5 5
3 3 ; х у 
В)
4 4
17 17 ; х ху у 
С)
23 3 2
4; 25 х у у у хх   
D)
24 4 2
; 22 х у у у хх 
E)
13 13
11 11 ; х у 
F)
4 3 2 2 2 4
; а а с а с с   
G)
4 4
2; zzу у 
H)
8 3 5 5 3 8
4. 4 а а с а с с 
Дескриптор: Обучающийся
— распознает симметрические многочлены;
— распознает однородные многочлены.
Задание 2
Из представленных многочленов выберите симметрические многочлены от трех переменных:
А)
6 66; хz у 
В)
2 22
; х z ху yz xz у     
С)
;
n nn хz у 
D)
2 2 2 2 2 2
c b b a c a abc   
;
E)
3
. х xyz 
Дескриптор: Обучающийся
— распознает симметрические многочлены от трех переменных.
51
Цель обучения 10.2.1.3 Уметь распознавать многочлен с одной переменной и
приводить его к стандартному виду
10.2.1.4 Находить старший коэффициент, степень и свободный
член многочлена с одной переменной
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет многочлен с одной переменной и его
элементы
 Записывает многочлен в стандартном виде
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Задание 1
Дан многочлен: 7𝑦
4
+ 26х
5
+ 32𝑦
2
∙ 𝑦
4
− х
2
∙ 8𝑦 ∙ х
2
− 2х ∙ 6𝑦
3
∙ х.
a) Запишите данный многочлен в стандартном виде;
b) укажите старший коэффициент и свободный член многочлена;
c) определите степень многочлена.
Дескриптор: Обучающийся
— приводит многочлен к стандартному виду;
— находит старший коэффициент многочлена;
— находит свободный член многочлена;
— находит степень многочлена.
Задание 2
Среди заданных многочленов укажите многочлены стандартного вида.
Да Нет
А)
5
2 3; х 
В)
4 4
2 7 ; хх х 
С)
3 2
46; 25 х хх   
D)
2 5 2 11
; 22 х х х х х   
E)
3 3
. х х


Дескриптор: Обучающийся
— распознает многочлены стандартного вида.
Задание 3
Запишите многочлен
 
33 24 5 (3 ) 6 25 х х х х х хх     
в стандартном виде.
Дескриптор: Обучающийся:
— выполняет умножение многочлена на одночлен;
— раскрывает скобки и приводит подобные слагаемые;
— записывает многочлен в стандартном виде.
Задание 4
Зная, что многочлены 𝑔(𝑦) = (𝑏 + 1)𝑦
3
+ 2 и 𝑕(𝑦) = 3𝑦
3
+ 𝑐𝑦
2
+ (𝑑 − 1)𝑦 + 𝑒 тождественно
равны, найдите значения 𝑏, 𝑐, 𝑑 и 𝑒.
Дескриптор: Обучающийся
— приравнивает коэффициенты при одинаковых степенях;
— находит значения 𝑏, 𝑐, 𝑑 и 𝑒.
52
Цель обучения 10.2.1.5 Находить корни многочлена с одной переменной
методом разложения его на множители
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует методы разложения многочлена на
множители
 Находит корни многочлена с одной переменной
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите корни многочлена с помощью метода разложения его на множители:
a)
32 ( ) 3 3 1; Р х х х х    
b)
32 ( ) 3 6 8; Р х х х х    
c)
5 3 2
( ) 5 6 ; Р х х х х   
d)
12 6
( ) 2 1. Р х х х   
Дескриптор: Обучающийся
— выбирает метод для разложения многочлена на множители;
— раскладывает многочлен на простые множители;
— находит корни многочлена.
Задание 2
Найдите произведение наименьшего и наибольшего корней многочлена
32 ( ) 2 9 18. Р х х х х    
Дескриптор: Обучающийся
— группирует слагаемые;
— раскладывает многочлен на простые множители;
— находит корни многочлена;
— вычисляет произведение наименьшего и наибольшего корней многочлена.
53
Цель обучения 10.2.1.6 Использовать формулы
𝑦
𝑜
− 𝑏
𝑜
, 𝑦
2𝑜+1
− 𝑏
2𝑜+1
при 𝑜𝜖𝑁
для разложения многочленов на множители
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет формулы 𝑦
𝑜
− 𝑏
𝑜
, 𝑦
2𝑜+1
− 𝑏
2𝑜+1
при 𝑜𝜖𝑁
для разложения многочленов на множители
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Разложите многочлены на множители:
a)
5
1; х 
b)
32 243
5
 а
с)
7
128 z 
Дескриптор: Обучающийся
— применяет формулы с четным / нечетным показателем;
— раскладывает многочлен на множители.
Задание 2
Преобразуйте выражение в многочлен и найдите его корни:
a)
4 3 2
( ) (4 5)(256 320 400 500 625); Р х х х х х х      
b)
2 8 6 4 2
( ) (2 3)(16 24 36 54 81); Р х х х х х х      
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулы 𝑦
𝑜
− 𝑏
𝑜
, 𝑦
2𝑜+1
− 𝑏
2𝑜+1
при 𝑜𝜖𝑁;
— преобразует выражение в многочлен;
— находит корни многочлена.
54
Цель обучения 10.2.1.7 Выполнять деление «уголком» многочлена на
многочлен
Критерий оценивания Обучающийся
 Выполняет деление многочлена на многочлен «уголком»
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Выполните деление многочлена Р(х) на многочлен Q(х).
а)
43 ( ) 6 7 18 Р х х х х    
,
( ) 2; Q хх 
b)
4 3 2
( ) 12 32 8 4 Р х х х х х     
,
2
( ) 8 2; Q х х х   
с)
() Рх 
4 3 2
2 7 2 13 6 х х х х    
,
2
( ) 2 5 3. Q х х х   
Дескриптор: Обучающийся
— использует алгоритм деления многочленов;
— делит многочлен на многочлен «уголком».
Задание 2
Найдите остаток при делении многочлена Р(х) на многочлен Q(х).
а)
5 3 2
( ) 6 2 4 Р х х х х    
,
2
( ) 1; Q х х х   
b)
4
( ) 64 Р х х 
,
( ) 3; Q хх 
с)
4 3 2
( ) 3 2 8 1 Р х х х х х     
,
2
( ) 1; Q хх 
Дескриптор: Обучающийся
— использует алгоритм деления многочленов;
— выполняет деление многочлена на многочлен «уголком»;
— находит остаток от деления многочленов.
Задание 3
При каких значениях a и b многочлен
4 3 2
( ) 2 2 Р х x x ax bx     
при делении на двучлен
) 2 (  x
имеет остаток, равный
  3 
, а при делении на двучлен
) 1 (  x
имеет остаток, равный
3
?
Дескриптор: Обучающийся
— использует деление многочленов «уголком»;
— составляет систему уравнений;
— решает систему уравнений;
— находит значения параметров.
55
Цель обучения 10.2.1.8 Применять теорему Безу и ее следствия при решении
задач
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет теорему Безу при решении задач
 Применяет следствия теоремы Безу при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Решите уравнения, используя теорему Безу:
а)
3 2
5 10 0; хх х    
b)
3 2
4 5 2 0; хх х    
с)
43 2
4 16 12 0. х х х х     
Дескриптор: Обучающийся
— использует следствие теоремы Безу;
— находит делители свободного члена;
— раскладывает многочлен на множители;
— находит корни уравнения.
Задание 2
Найдите неизвестные коэффициенты многочлена 2х
3
+ mx
2
+nх+12, если числа 1 и (-2) являются
корнями данного многочлена.
Дескриптор: Обучающийся
— использует теорему Безу;
— составляет систему уравнений;
— решает систему уравнений;
— находит значения параметров.
Задание 3
Найдите корни многочлена
3
( ) 19 30 Р х х x   
.
Дескриптор: Обучающийся
— использует следствие теоремы Безу;
— находит делители свободного члена;
— раскладывает многочлен на множители;
— находит корни многочлена.
56
Цель обучения 10.2.1.9 Применять различные способы нахождения корней
симметрических и однородных многочленов
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит корни симметрических многочленов
 Находит корни однородных многочленов
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите корни многочленов.
а)
3 2
( ) 3 7 7 3; Р х х х х    
b)
43 2
( ) 5 6 5 1; Р х х х х х     
с)
4 3 2
( ) 5 12 14 12 5. Р х х х х х     
Дескриптор: Обучающийся
— использует методы разложения многочленов на множители;
— раскладывает многочлен на множители;
— находит корни многочлена.
Задание 2
Разложите многочлены на множители.
а)
4 3 2 2 3 4
( ) 2 7 9 7 2 ; Р х х х у х у ху у     
b)
4 3 2 2 3 4
( ) 10 27 110 27 10 . Р х х х у х у ху у     
Дескриптор: Обучающийся
— использует методы разложения многочленов на множители;
— раскладывает многочлен на множители.
Задание 3
Найдите значение
х
у
из уравнения.
а)
22 3 2 0; х ху у   
b)
3 2 3
4 5 0. х ху у   
Дескриптор: Обучающийся
— делит многочлен на старшую степень у;
— вводит новую переменную;
— использует метод решения уравнения;
— решает уравнение и находит решение.
57
Цель обучения 10.2.1.10 Применять схему Горнера для нахождения корней
многочлена
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет схему Горнера для нахождения корней
многочлена
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Заполните таблицу, применяя схему Горнера.
4 -19 19 6
2
Дескриптор: Обучающийся
— находит коэффициенты;
— заполняет таблицу.
Задание 2
Решите уравнение с помощью составления схемы Горнера:
а)
3 2
5 9 5 0; хх х    
b)
3 2
4 6 0; хх х    
с)
43 2
4 16 84 0. 25 х х х х     
Дескриптор: Обучающийся
— находит делители свободного члена;
— находит корень уравнения из делителей свободного члена;
— составляет схему Горнера;
— находит корни уравнения.
Задание 3
Найдите корни многочленов.
а)
3 2
( ) 4 5; Р х х х х    
b)
432 ( ) 3 5 9 9 10. Р х х х х х     
Дескриптор: Обучающийся
— находит делители свободного члена;
— составляет схему Горнера;
— раскладывает многочлен на множители;
— находит корни многочлена.
Задание 4
Используя схему Горнера, найдите неполное частное и остаток от деления многочлена
3 2
( ) 7 3 Р х х х х    
на двучлен (𝑦 − 2).
Дескриптор: Обучающийся
— составляет схему Горнера;
— находит неполное частное;
— находит остаток от деления.
58
Цель обучения 10.2.1.13 Знать метод неопределённых коэффициентов и
применять его при разложении многочлена на
множители
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет метод неопределённых коэффициентов при
разложении многочлена на множители
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите значения А и В, если выполняется равенство.
) 1 2 )( 4 ( 4 32 3 2
2 3 2 2 4 5          Bx Ax x x x х x x
.
Дескриптор: Обучающийся
— раскрывает скобки и приводит подобные слагаемые;
— приравнивает коэффициенты при членах с одинаковыми показателями;
— находит значение коэффициента А;
— находит значение коэффициента В.
Задание 2
Разложите многочлен
3 2
3
( ) 2 5 6 Р х х х х    
на множители, применяя метод неопределенных
коэффициентов.
Дескриптор: Обучающийся
— представляет многочлен в виде произведения многочленов;
— раскрывает скобки и приводит подобные слагаемые;
— составляет систему уравнений;
— находит значение неизвестных коэффициентов;
— раскладывает многочлен на множители.
Задание 3
Применяя метод неопределенных коэффициентов, представьте многочлен
42
4 ( ) 10 20 Р х х х х    
в виде произведения двух многочленов второй степени.
Дескриптор: Обучающийся
— представляет многочлен в виде произведения квадратных трехчленов;
— раскрывает скобки и приводит подобные слагаемые;
— составляет систему уравнений;
— находит значение неизвестных коэффициентов;
— раскладывает многочлен на множители.
59
Цель обучения 10.2.1.11 Применять теорему о рациональном корне
многочлена с одной переменной с целыми
коэффициентами для нахождения его корней
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит корни многочлена с помощью теоремы о
рациональном корне
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Решите уравнения.
а)
3 2
2 7 5 1 0; хх х    
b)
3
8 4 1 0; хх   
с)
0 12 16 4 3
2 3 4
     х x х х
;
d)
43 2
2 7 13 6 0. 2 х х х х     
Дескриптор: Обучающийся
— находит делители старшего коэффициента и свободного члена;
— применяет теорему о рациональном корне многочлена;
— раскладывает многочлен на множители;
— находит корни уравнения.
Задание 2
Найдите корни многочлена
32 ( ) 9 15 6 10 Р х х x x    
.
Дескриптор: Обучающийся
— находит делители старшего коэффициента и свободного члена;
— применяет теорему о рациональном корне многочлена;
— раскладывает многочлен на множители;
— находит корни многочлена.
60
Цель обучения 10.2.2.1 Применять метод разложение на множители при
решении уравнений высших степеней
10.2.2.2 Применять метод введения новой переменной при
решении уравнений высших степеней
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет метод разложения на множители при
решении уравнений
 Применяет метод введения новой переменной при
решении уравнений
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Решите уравнение с помощью разложения на множители.
a)
4 3 2
5 6 0; х х х   
b)
32 2 7 7 2 0; х х х    
Дескриптор: Обучающийся:
— выбирает способ разложения на множители;
— раскладывает левую часть уравнения на множители;
— находит корни уравнения.
Задание 2
Решите уравнение с помощью введения новой переменной.
a)
4 2
6 0; 7 х х   
b)
2 22 ( ) 4 ) 12 0. ( х х х х     
Дескриптор: Обучающийся
— вводит новую переменную;
— решает уравнение относительно введенной переменной;
— решает совокупность уравнений относительно исходной переменной;
— находит корни уравнения.
Задание 3
Решите уравнения:
a)
43 2
5 7 5 6 0; х х х х     
b)
43 2
5 12 14 12 5 0. х х х х     
Дескриптор: Обучающийся
— выбирает способ решения уравнения;
— выполняет преобразование многочлена;
— вводит новую переменную;
— решает уравнение относительно введенной переменной;
— решает совокупность уравнений относительно исходной переменной;
— находит корни уравнения.
Задание 4
Решите уравнения, подобрав подходящую замену переменной:
a)
( 3)( 5)( 7)( 1) 15 0; х х х х      
b)
43 2
5 10 10 4 0. х х х х     
61
Дескриптор: Обучающийся
— выполняет преобразование многочлена;
— вводит новую переменную;
— решает уравнение относительно введенной переменной;
— решает совокупность уравнений относительно исходной переменной;
— находит корни уравнения.
62
Цель обучения 10.2.1.12 Знать обобщенную теорему Виета и применять ее к
многочленам третьего порядка
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет обобщенную теорему Виета при решении
задач
 Применяет теорему, обратную теореме Виета.
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Дано уравнение
32 3 5 17 0. х х х    
Вычислите значение выражения
1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 2 2 3 x x x x x x x x x x x x      
, где
1 2 3
,, x x x
– корни данного уравнения.
Дескриптор: Обучающийся
— выполняет преобразования выражения;
— применяет теорему Виета;
— вычисляет значение выражения.
Задание 2
Не решая уравнения
32 2 2 0 x x x    
, найдите значение выражения
2
3
2
2
2
1
x x x  
.
Дескриптор: Обучающийся
— применяет теорему Виета;
— выполняет преобразования;
— вычисляет значение выражения.
Задание 3
Составьте приведенное кубическое уравнение, корнями которого являются числа -5; 2; 4.
Дескриптор: Обучающийся
— применяет теорему, обратную теореме Виета;
— вычисляет коэффициенты кубического уравнения;
— составляет кубическое уравнение.
63
Раздел: Предел функции и непрерывность
Цель обучения 10.4.1.8 Знать определение предела функции в точке и
вычислять его
10.4.1.9 Знать определение предела функции на бесконечности
и вычислять его
Критерий оценивания Обучающийся
 Вычисляет предел функции в точке
 Вычисляет предел функции на бесконечности
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Вычислите предел функции в точке.
а)
2
6
6
lim ;
56 x
x
xx 


d)
32
2
2
39
lim ;
36 y
y y y
yy 


b)
4
2
lim ;
3
x
x
x



е)
3
lim
11 у
у
у


;
с)
3
1
8
lim ;
2
x
x
x



f)
 
   
2
0
5
lim
12 x
x
xx 


.
Дескриптор: Обучающийся
— выбирает метод преобразования;
— выполняет преобразования;
— вычисляет значение предела функции.
Задание 2
Вычислите предел функции на бесконечности.
а)
2
lim(18 1);
x
х


b)
42 lim ( 3 ).
x
хх


Дескриптор: Обучающийся
— вычисляет значение предела функции.
Задание 3
Вычислите предел функции на бесконечности.
а)
2
2
5 13 7
lim ;
32 x
xx
x



с)
13
lim ;
53 x
х
х



b)
 
3
32
1
lim ;
23 x
х
х х х



d)
32
3
18 3 2
lim .
21 x
x хх
хх 
  

Дескриптор: Обучающийся
— делит числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной;
— применяет свойства пределов;
— вычисляет значение предела.
64
Цель обучения 10.4.1.10 Знать определение асимптоты к графику функции и
уметь составлять уравнения асимптот
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит вертикальные и горизонтальные асимптоты
 Составляет уравнение наклонной асимптоты
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите вертикальную и наклонную асимптоты к графику функции
2
1
1
x
у
x



.
Дескриптор: Обучающийся
— находит вертикальную асимптоту;
— использует условие для нахождения наклонной асимптоты;
— находит коэффициент;
— находит свободный член;
— записывает уравнение наклонной асимптоты.
Задание 2
Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты при
х 
к графикам функций.
а)
3
3
5 3 6
;
32
xx
у
x



b)
32
2
41;
8
x х
у
хх



с)
4
3
1
.
8
x
у
х



Дескриптор: Обучающийся
— использует условие для нахождения наклонной асимптоты;
— определяет существование горизонтальной асимптоты;
— составляет уравнение асимптоты.
Задание 3
Найдите асимптоты к графику функции
2
68
.
2
x х
у
x



Дескриптор: Обучающийся
— использует условие для нахождения наклонной асимптоты;
— определяет существование вертикальной асимптоты;
— определяет существование горизонтальной асимптоты;
— составляет уравнения асимптот.
65
Цель обучения 10.4.1.11 Находить пределы числовых последовательностей,
применяя свойства предела функции на
бесконечности
Критерий оценивания Обучающийся
 Вычисляет пределы числовых последовательностей
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Вычислите пределы числовых последовательностей.
а)
2
2
5 3 2
lim ;
52 n
nn
n



d)
 
22 lim 1 ;
n
nn 

b)
 
3
2
62
2
lim ;
63 n
nn
nn 


е)
32
3
83
lim .
3
n
n n n
nn 


с)
3
1
lim ;
3
n
n


f)
lim .
2
n
n
n


Дескриптор: Обучающийся
— делит числитель и знаменатель дроби на старшую степень n;
— умножает и делит выражение на сопряженное;
— преобразует и раскладывает на множители числитель или знаменатель и
сокращает дроби;
— выполняет преобразования, используя свойства пределов;
— вычисляет значение предела.
Задание 2
Вычислите пределы числовых последовательностей.
а)
  1 ! !
lim ;
( 2) !
n
nn
nn 


b)
2
42
lim .
4
n
n
n



Дескриптор: Обучающийся
— использует свойства пределов;
— выносит общий множитель из числителя или знаменателя дроби;
— выполняет сокращение дробей;
— вычисляет значение предела.
66
Цель обучения 10.4.1.12 Знать определения непрерывности функции в точке и
непрерывности функции на множестве
10.4.1.13 Знать свойства непрерывных функций и применять их
при доказательстве непрерывности функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует свойства непрерывных функций
 Доказывает непрерывность функций
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Исследуйте функцию на непрерывность
2
1
23
х
у
хх



. Найдите интервалы непрерывности
функции.
Дескриптор: Обучающийся
— использует определение непрерывности функций;
— находит точки, обращающие в нуль знаменатель дроби;
— вычисляет значение пределов в данных точках;
— находит интервалы непрерывности функции.
Задание 2
Известно, что
4
lim ( ) 20
x
fx


и
4
lim ( ) 2
x
gx


. Определите, будут ли следующие функции
непрерывными в точке 4.
а)
() fx  2 ( ); gx
b)
()
;
()
fx
gx
с)
( ) ( ). f x g x 
Дескриптор: Обучающийся
— определяет непрерывность суммы двух функций;
— определяет непрерывность частного двух функций;
— определяет непрерывность произведения двух функций.
67
Цель обучения 10.4.1.14 Применять методы раскрытия неопределенностей
вида


,
0
0
и
  
при вычислении пределов
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет методы раскрытия неопределенностей вида


,
0
0
при вычислении пределов
 Применяет методы раскрытия неопределенностей вида
  
при вычислении пределов
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
Вычислите предел функции.
а)
2
1
1
lim ;
2
x
x
xx 


b)
lim ;
1
x
x
x


с)
3
3
27
lim ;
3
x
x
x



d)
2
2
61
lim ;
2 8 5
x
xx
x х



е)
34
23 lim( );
11 у
хх
хх 


f)
 
lim 1 .
x
хх


Дескриптор: Обучающийся
— делит числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной;
— умножает и делит выражение на сопряженное;
— преобразует и раскладывает на множители числитель или знаменатель и
сокращает дроби;
— выполняет преобразования, используя свойства пределов;
— вычисляет значение предела.
68
Цель обучения 10.4.1.15 Вычислять пределы, применяя первый замечательный
предел
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет первый замечательный предел
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Вычислите предел функции.
а)
0
sin
2
lim ;
x
х
х




d)
2
lim ;
cos(2 )
x
х
х



b)
2
2
0
3
sin
5
lim ;
x
х
х




е)
0
3 sin 2
lim ;
sin
x
хх
х


с)
0
5
lim ;
sin 8
x
х
х

f)
2
2
0
lim .
x
х
tg х

Дескриптор: Обучающийся
— умножает и делит числитель или знаменатель на одно и то же число для
сведения предела к виду первого замечательного предела;
— применяет формулу синуса двойного угла;
— использует свойства пределов;
— выполняет преобразования;
— применяет первый замечательный предел;
— вычисляет значение предела.
Задание 2
Вычислите предел функции.
а)
0
sin 8 sin 2
lim ;
5
x
хx
х


b)
2
0
1 cos 4
lim ;
x
x
х


с)
2
0
5 cos
lim ;
8
x
сos х x
х


d)
lim 2 .
x
хctg x

Дескриптор: Обучающийся
— применяет тригонометрическую формулу разности синусов двух аргументов;
— применяет формулу косинуса двойного угла;
— выполняет преобразования;
— применяет первый замечательный предел;
— вычисляет значение предела.
69
Раздел: Производная
Цель обучения 10.4.1.16 Знать определения приращения аргумента и
приращения функции
10.4.1.17 Знать определение производной функции и находить
производную функции по определению
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит приращение аргумента и приращение функции
 Находит производную функции по определению
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Найдите приращения аргумента и функции
х 
и
f 
в точке
0
х
, если:
а)
( ) 5, fx х  0
3 х 
,
4,5; х 
b)
2
( ) , fx х 
0
2 х 
,
1,3; х 
с)
2
( ) , fx
х

0
1 х 
,
3,8; х 
d)
2
( ) sin , f x x  0
3
х


,
2
.
3
х


Дескриптор: Обучающийся
— находит приращение аргумента;
— находит приращение функции.
Задание 2
Дан квадрат со стороной b. Выразите погрешность
, S 
допущенную при вычислении площади
этого квадрата, если погрешность при измерении длины стороны равна
. х 
Дескриптор: Обучающийся
— применяет определения приращения функции и приращения аргумента;
— составляет выражения для нахождения приращения
S 
;
— находит приращение
. S 
Задание 3
Найдите
f
x


в точке
0
, х
если:
а)
( ) 3 1, fx х  0
1 х 
,
0,5; х 
b)
2
( ) 2 , fx х 
0
2 х 
,
0,1. х 
Дескриптор: Обучающийся
— находит приращение аргумента;
— находит приращение функции;
— находит отношение
.
f
x


Задание 4
Найдите производную
f
x


в точке
0
, х
если:
а)
( ) ; f x kхb 
b)
2
( ) 5 ; fx х 
с)
3
( ) . fx х 
70
Дескриптор: Обучающийся
— находит приращение аргумента;
— находит приращение функции;
— находит производную по определению.
71
Цель обучения 10.4.1.18 Находить производные постоянной функции и
степенной функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит производные постоянной функции
 Находит производные степенной функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите производные функций.
а)
( ) 5; fx 
b)
2
( ) ; fx х 
с)
1
( ) ; fx
х

d)
3
( ) ; f x x 
е)
11
( ) . f x x


Дескриптор: Обучающийся
— находит производные постоянных функций
— находит производные степенных функций с натуральным показателем
— находит производные степенных функций с целым показателем
Задание 2
Найдите производные функций:
а)
4
( ) 15 ; fx х 
b)
2
( ) 7 ; fx х 
с)
4
6
( ) ; fx
х

d)
3
4
( ) ; f x x 
е)
7
8
( ) 2 . f x x


Дескриптор: Обучающийся
— находит производные функций с натуральным показателем;
— находит производные степенных функций с целым показателем;
— находит производные степенных функций с рациональным показателем.
72
Цель обучения 10.4.1.19 Знать определение дифференциала функции и
геометрический смысл дифференциала
10.4.1.20 Находить дифференциал функции
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет определение дифференциала функции и
геометрический смысл дифференциала
Находит дифференциал функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите дифференциал функции
df
:
а)
( ) 23 ; fx х 
b)
2
( ) 4 ; fx х


с)
5
1
( ) ; fx
х

d)
3
( ) ; f x x х 
е)
23
( ) 7 . f x x


Дескриптор: Обучающийся
— применяет определение дифференциала функции;
-находит дифференциал функции с натуральным показателем;
— находит дифференциал функции с целым показателем;
— находит дифференциал функции с рациональным показателем.
Задание 2
Постройте график функции
2
( ) , fx х    0;4 х 
. Покажите на графике функции дифференциал
df
, если
0
1 х 
,
3. х 
Дескриптор: Обучающийся
— строит график функции
2
( ) ; fx х 
— показывает на графике приращение аргумента;
— показывает на графике дифференциал функции.
73
Цель обучения 10.4.1.21 Знать и применять правила дифференцирования
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет правила дифференцирования суммы и
разности
 Применяет правила дифференцирования произведения
 Применяет правила дифференцирования частного
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите производную функции.
а)
6
5
1
( ) ; fx х
х

b)
2
3 2
3
( ) 2 3;
x
f x x x
x
  
с)
32 4 27 1. y x x x    
Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования суммы;
— находит производные степенной функции с целым показателем;
— находит производные степенной функции с рациональным показателем;
— находит производную функции.
Задание 2
Найдите значение производной функции
32 ( 1)( 1) y x x x    
в точке
0
1. х 
Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования произведения;
— находит производные каждого множителя;
— находит производную произведения функций;
— находит значение производной функции в точке
0
1. х 
Задание 3
Найдите производную функции:
а)
2
5 2 4
;
21
xx
y
x



b)
2
2
9 3 2
.
1
хх
y
х



Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования частного;
— находит производные элементарных функций;
— находит производную частного функций.
74
Цель обучения 10.4.1.22 Находить производную сложной функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит производную сложной функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите производную функции:
а)
7 6 5
( ) ( 3 ) ; fx хх 
b)
12
( ) (1 ) ; f x x 
с)
3 2 3
( 2 3) . y x x x

   
Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— использует правило дифференцирования суммы;
— находит производную функции.
Задание 2
Найдите производную функции
а)
2
7
31
;
(2 1)
xx
y
x



b)
25 ( 5 2)
.
4
хх
y
х



Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования частного;
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— находит производную числителя и производную знаменателя;
— подставляет значения в формулу;
— находит производную функции.
Задание 3
Найдите производную функции
4 3 2 5
( ) ( 1) (5 3 ) . fx х х х   
Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования произведения;
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— находит производную каждого множителя;
— находит производную элементарных функций;
-находит производную функции.
75
Цель обучения 10.4.1.23 Находить производные тригонометрических функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит производные тригонометрических функций
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите производную функции.
а)
sin cos 2 ; y x x 
b)
3
4sin 1; yx 
с)
( ) 2 3 ;
2
х
f x tg x ctg 
d)
( ) 7 1; f x ctg х 
е)
13 2
( ) (sin ) . f x x х


Дескриптор: Обучающийся
— находит производные тригонометрических функций;
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— использует правило дифференцирования суммы;
— находит производную функции.
Задание 2
Найдите производную функции.
а)
7
71
;
cos
tg x
y
x


b)
5
2
.
ctg x
y
х

Дескриптор: Обучающийся
— находит производные тригонометрических функций;
— использует правило дифференцирования частного;
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— находит производную числителя и производную знаменателя;
— находит производную функции.
Задание 3
Найдите значение производной функции в точке
0
0. х 
а)
2
cos ; y хx 
b)
5
(3 2) 2 . y x tg x   
Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования произведения;
— находит производную элементарных функций;
— использует правило дифференцирования сложной функции
-находит производные тригонометрических функций;
— подставляет значения в формулу;
— находит значение производной функции в точке
0
0. х 
76
Цель обучения 10.4.1.24 Находить производные обратных тригонометрических
функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит производные обратных тригонометрических
функций
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите производную функции.
а)
arccos 2 sin 5 ; yx х 
b)
2
arcsin 3 ;
8
x
y x arctg 
с)
( ) 2 3 ;
3
х
f x arcсtg x ctg 
d)
8
( ) (arcsin 2 ) 3 . f x x х


Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— находит производные обратных тригонометрических функций;
— использует правило дифференцирования суммы;
— находит производную функции.
Задание 2
Найдите производную функции.
а)
2
3
()
;
arcctg x
y
х

b)
5
2
.
3
ctg x
y
х

Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования частного;
— находит производные обратных тригонометрических функций;
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— находит производную числителя и производную знаменателя;
— подставляет значения в формулу;
— находит производную функции.
Задание 3
Найдите производную функции:
а)
4
3 arcsin ; y хx 
b)
2.
x
y e arctg x 
Дескриптор: Обучающийся
— находит производные обратных тригонометрических функций;
— использует правило дифференцирования произведения;
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— подставляет значения в формулу;
— находит производную функции.
77
Цель обучения 10.4.2.1 Знать геометрический смысл производной
10.4.3.2 Решать задачи с использованием геометрического
смысла производной
10.4.1.25 Составлять уравнение касательной к графику
функции в заданной точке
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет геометрический смысл производной при
решении задач
 Составляет уравнение касательной к графику функции в
заданной точке
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке
0
, х
если:
а)
2
2 8 5, yx х   
0
3; х 
b)
2 3sin , y хx  0
; х  
с)
2
( ) cos , f x x  0
.
12
х


Дескриптор: Обучающийся
-применяет правило дифференцирования суммы;
— применяет правило дифференцирования сложной функции;
— находит производную функции;
— находит значение производной функции в заданной точке.
Задание 2
Составьте уравнение касательной к графику функции
() fx
в точке
0
x
:
а)
3
1
2,
3
yx х  0
3; х 
b)
2
1
,
(2 1)
y
х

 0
1. х 
с)
()
cos
x
fx
x

,
0
4
x


.
Дескриптор: Обучающийся
— находит производную функции;
— находит значение производной функции в точке;
— находит значение функции в точке;
— подставляет значения в формулу;
— записывает уравнение касательной.
Задание 3
На графике функции
( ) 4 8 fx х 
найдите точку, в которой касательная к
() fx
наклонена
к оси абсцисс под углом
0
45 .
Дескриптор: Обучающийся
— применяет формулу дифференцирования сложной функции;
-находит производную функции;
— применяет геометрический смысл производной;
— составляет и решает уравнение;
— находит координату точки.
78
Цель обучения 10.4.2.2 Знать физический смысл производной
10.4.3.1 Решать прикладные задачи, опираясь на физический
смысл производной
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает задачи, применяя физический смысл
производной
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Тело движется по закону
3
( ) 2 3 S t t t   
(
() St
— в метрах,
t 
в секундах). Найдите скорость и
ускорение через 5с после начала движения.
Дескриптор: Обучающийся
— использует физический смысл производной;
— находит производную функции;
— вычисляет значение производной в точке;
— находит вторую производную функции;
— вычисляет значение второй производной в точке.
Задание 2
Точка движется прямолинейно по закону
3
2
( ) 3 5
6
t
S t t    
(
() St
— в метрах,
t 
в секундах).
Найдите скорость точки в момент времени, когда ускорение будет равно нулю.
Дескриптор: Обучающийся
— находит скорость тела как производную функции;
— находит ускорение тела как производную скорости;
-составляет уравнение и решает его;
— вычисляет значение времени;
— находит скорость в момент времени.
79
4 четверть
Раздел: Применение производной
Цель обучения 10.4.1.26 Знать необходимое и достаточное условие возрастания
(убывания) функции на интервале
10.4.1.27 Находить промежутки возрастания (убывания)
функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит промежутки монотонности функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а)
23
( ) 7 24 3 ; fx х х х    
b)
( ) 4 ; fx хх 
с)
2
( ) 6 . fx хх 
Задание 2
Найдите промежутки монотонности функции:
а)
2
3
;
4
xx
y
x



b)
4
8 2.
4
х
y х   
Дескриптор: Обучающийся:
— находит область определения функции;
— находит производную функции;
— находит критические точки;
— определяет знаки производной в интервалах;
— находит промежутки монотонности функции.
Задание 3
Докажите, что функция является возрастающей (убывающей) на множестве R:
а)
53 8 5; yx х   
b)
2
6 sin ; y хx 
с)
5 cos   x у
.
Дескриптор: Обучающийся
— находит производную функции;
— показывает, что производная принимает только положительное
(отрицательное) значение;
— доказывает, что функция является возрастающей(убывающей) на R.
80
Цель обучения
10.4.1.28 Знать определения критических точек и точек
экстремума функции, условие существования
экстремума функции
10.4.1.29 Находить критические точки и точки экстремума
функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет определения критических точек и точек
экстремума функции, условие существования
экстремума функции
 Находит критические точки функции
 Находит точки экстремума функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите критические точки функции.
а)
434 ( ) 4 4 3; fx х х х    
b)
( ) ( 1) ; fx хх 
с)
( ) sin .
22 8
xx
fx

  
Дескриптор: Обучающийся
— находит производную функции;
— составляет выражение для определения критических точек;
— находит критические точки функции.
Задание 2
Найдите точки экстремума функции.
а)
2
3
;
1
x
y
x



b)
2
( ) 2 . у x х х 
Дескриптор: Обучающийся
— находит производную функции;
— находит критические точки функции;
— определяет знаки производной в интервалах;
— определяет вид экстремума функции.
Задание 3
Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции.
а)
53 15 2; yx х   
b)
22 ( 2) ( 1) . y хх   
Дескриптор: Обучающийся
— находит производную функции;
— находит критические точки функции;
— определяет знаки производной в интервалах;
— находит промежутки монотонности функции;
— определяет экстремумы функции.
Задание 4
На рисунке изображен график производной функции f’(x). Найдите точки максимума и
минимума функции f(x).
81
Дескриптор: Обучающийся
— использует необходимое и достаточное условия экстремума функции;
— находит критические точки по графику функции;
— находит по графику промежутки монотонности функции;
— находит точки и вид экстремума функции.
82
Цель обучения 10.4.1.30 Находить вторую производную функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит вторую производную функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите вторую производную функции.
а)
4 3 2
( ) 11 4 5 1; fx х х х     
с)
3
( ) 2sin ;
2 3
xx
fx 
b)
2
( ) (8 3 ) ; fx х х х 
d)
6
12
1
( ) 2 .
3
fx х
х
  
Дескриптор: Обучающийся
— применяет правило суммы производной;
-применяет правило произведения производной;
— находит производные элементарных функций;
-находит производную сложной функции;
-находит первую производную функции;
— находит вторую производную функции.
Задание 2
Найдите
( ) : ух 
а)
2
1
;
1
x
y
x



b)
( ) .
3
х
уx
х


Дескриптор: Обучающийся
— использует правило дифференцирования частного;
— находит первую производную функции;
— находит вторую производную функции.
Задание 3
Найдите вторую производную функции.
а)
cos 2 ; y хx 
b)
2
4sin 3; yx 
с)
( ) 2 ; f x arctg x 
d)
( ) 3 . f x ctg х 
Дескриптор: Обучающийся
— использует правила дифференцирования функций;
— использует правило дифференцирования сложной функции;
— находит первую производную функции;
— находит вторую производную функции.
83
Цель обучения 10.4.1.31 Знать определение точки перегиба графика функции и
необходимое и достаточное условие выпуклости вверх
(вниз) графика функции на интервале
10.4.1.32 Уметь находить интервалы выпуклости вверх (вниз)
графика функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит точки перегиба графика функции
 Определяет интервалы выпуклости графика функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите точки перегиба графика функции:
а)
64 ( ) 10 25 1; fx хх   
b)
2
( ) 3sin 2 3 . fx хх 
Дескриптор: Обучающийся
— находит первую производную функции;
— находит вторую производную функции;
— составляет выражение для определения точек перегиба;
— находит точки перегиба функции.
Задание 2
Исследуйте функцию на выпуклость:
а)
6
4
3 2;
30
x
y х   
b)
4 3 2
( ) 6 16 12 10 1. fx х х х х     
Дескриптор: Обучающийся
— находит первую производную функции;
— находит вторую производную функции;
— составляет выражение для определения точек перегиба;
— находит точки перегиба функции;
— составляет выражение для определения выпуклости графика функции;
— находит интервалы выпуклости вверх (вогнутости вниз) графика
функции.
Задание 3
Найдите значение b, при котором точка
0
1 х 
будет точкой перегиба графика функции
32 ( ) 6 . f x bхх 
Дескриптор: Обучающийся
— находит первую производную функции;
— находит вторую производную функции;
— составляет выражение для определения точек перегиба;
— подставляет в выражение значение;
— находит значение параметра.
84
Цель обучения 10.4.1.33 Исследовать свойства функции с помощью
производной и строить её график
Критерий оценивания Обучающийся
 Исследует свойства функции с помощью производной
 Строит график функции на основе ее исследования
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Проведите исследование функции и постройте ее график.
)
3
( ) 6 ; fx хх 
с)
4
( ) ; fx х
х

b)
2
( ) ( 1) ; fx хх 
d)
2
1
( ) .
1
fx
х


Дескриптор: Обучающийся
— находит область определения функции;
— исследует функцию на четность/нечетность;
— находит нули функции и промежутки знакопостоянства;
— исследует функцию на непрерывность и наличие асимптот;
— записывает уравнение асимптот при наличии;
— находит интервалы монотонности функции;
— находит экстремумы функции;
— находит точки перегиба;
— находит интервалы выпуклости графика функции;
— строит график функции.
Задание 2
Проведите исследование функции и постройте ее график.
а)
21
( ) ;
1
х
fx
х



b)
( ) 2sin cos 2 . f x x x 
Дескриптор: Обучающийся
— находит область определения функции;
— исследует функцию на четность/нечетность/периодичность;
— находит нули функции и промежутки знакопостоянства;
— исследует функцию на непрерывность и наличие асимптот;
— записывает уравнение асимптот при наличии;
— находит интервалы монотонности функции;
— находит экстремумы функции;
— находит точки перегиба;
— находит интервалы выпуклости графика функции;
— строит график функции.
85
Цель обучения 10.4.1.34 Находить наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
а)
3
1
( ) 4 ,
3
fx хх    0;3
; b)
2
81
( ) 1,5 , fx х
х
   1;4
;
с)
1
( ) ,
2
fx х
х


  5; 2,5 
; d)
2
( ) ,
1
х
fx
х


  0;2
;
е)
2
( ) sin , fx хx    0; 
.
Дескриптор: Обучающийся
— находит производную функции;
— находит критические точки функции;
— вычисляет значения функции в критических точках, принадлежащих
данному отрезку;
— вычисляет значения функции на концах отрезка;
— выбирает из полученных значений наибольшее и наименьшее.
Задание 2
Точка движется прямолинейно по закону
3
2
2
( ) 12 .
3
t
S t t   
(
() St
— в метрах,
t 
в секундах). В
какой момент времени из отрезка
  4;10
скорость движения точки будет наибольшей?
Найдите величину этой скорости.
Дескриптор: Обучающийся
— находит первую производную функции;
— находит вторую производную функции;
— находит критические точки функции;
— вычисляет значения функции в критических точках;
— вычисляет значения функции скорости на концах отрезка;
— находит наибольшее значение скорости на отрезке.
86
Цель обучения 10.4.3.3 Решать прикладные задачи, связанные с нахождением
наибольшего (наименьшего) значения функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает прикладные задачи, связанные с нахождением
экстремальных значений функции.
Уровень мыслительных
навыков
Навыки высокого порядка
Задание 1
a) Число 180 необходимо разбить на три слагаемых так, чтобы два из них относились
как 1:2, а произведение трех слагаемых было наибольшим.
b) Для перевозки строительных материалов необходимо изготовить сварной каркас,
имеющий форму правильной четырёхугольной призмы. Какую необходимо выбрать
длину, ширину и высоту каркаса, чтобы вместимость строительных материалов была
наибольшей, если на изготовление выделено 36 м металлического прута?
Дескриптор: Обучающийся
— вводит независимую переменную;
— составляет функцию по условию задачи;
— находит производную функции;
— находит критические точки функции;
— вычисляет значение функции в критической точке из отрезка;
— проверяет с помощью производной является ли значение наибольшим;
— записывает ответ в соответствии с условием задачи.
Задание 2
Количество заболевших во время эпидемии гриппа в городе Шымкент определяется в
зависимости от времени начала эпидемии по формуле
5
2
2
( ) 200(5 ) N t t t 
, t — в днях.
а) Определите в какой день наступит пик заболеваемости.
b) Найдите количество заболевших в момент пика заболеваемости.
Дескриптор: Обучающийся
— находит производную функции;
— находит критические точки функции;
— вычисляет день максимума заболеваемости;
— проверяет с помощью производной является ли значение наибольшим;
— вычисляет максимальное количество заболевших;
— записывает ответ в соответствии с условием задачи.
Задание 4
Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч
при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией
2
( ) 0,0017 0,18 10,2, 30 fx х х если х    
.
a) Определите, при какой скорости расход горючего будет наименьшим.
b) Найдите этот расход.
Дескриптор: Обучающийся
— находит производную функции;
87
— находит критические точки функции;
— вычисляет скорость, как значение функции в критической точке из
отрезка;
— проверяет с помощью производной является ли значение наименьшим;
— вычисляет расход горючего;
— записывает ответ в соответствии с условием задачи.
88
Раздел: Случайные величины и их числовые характеристики
Цель обучения 10.3.2.9 Понимать, что такое случайная величина и приводить
примеры случайных величин
10.3.2.10 Знать определение дискретной и непрерывной
случайной величины и уметь их различать
Критерий оценивания Обучающийся
 Приводит примеры случайных величин
 Различает дискретные и непрерывные случайные
величины
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Задание
a) Определите, какие из приведенных ниже случайных величин являются
дискретными, а какие-непрерывными.
b) Запишите по два примера дискретных и непрерывных случайных величин.
Случайная величина Дискретная Непрерывная
Количество мальчиков, рожденных в городе N в июне
Количество рецептов, выданных врачом в течении дня
Вес семнадцатилетнего ученика
Объем воды в чашке кофе
Количество форели в озере
Оценки 30 учеников за тесты по географии
Высота небоскреба
Число ударов пульса спортсмена в минуту
Температура воздуха в течении дня
Продолжительность жизни человека
Количество зрителей в кинотеатре
Время инкубационного периода заболевания
Дескриптор: Обучающийся
— определяет дискретные случайные величины;
— определяет непрерывные случайные величины;
— приводит примеры непрерывных случайных величин;
— приводит примеры дискретных случайных величин.
89
Цель обучения 10.3.2.11 Составлять таблицу закона распределения некоторых
дискретных случайных величин
Критерий оценивания Обучающийся
 Составляет таблицу закона распределения дискретных
случайных величин
Уровень мыслительных
навыков
Навыки высокого порядка
Задание 1
Вероятность попадания мяча в корзину при каждом броске равна 0,6. Составьте таблицу
закона распределения числа попаданий при двух бросках.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет все возможные варианты попаданий и промахов при двух
бросках;
— вычисляет вероятности данных исходов;
— заполняет таблицу.
Задание 2
Составьте таблицу закона распределения суммы очков, выпавших при бросании двух
игральных кубиков.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет все возможные варианты сумм очков;
— вычисляет вероятности данных исходов;
— заполняет таблицу.
Задание 3
Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания
в цель соответственно равны 0,5, 0,6 и 0,8. Составьте закон распределения случайной
величины X — числа попаданий в цель.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет все возможные варианты попаданий и промахов при выстрелах;
— вычисляет вероятности данных исходов;
— составляет закон распределения.
90
Цель обучения 10.3.2.12 Знать понятие математического ожидания дискретной
случайной величины и его свойства
10.3.2.13 Вычислять математическое ожидание дискретной
случайной величины
10.3.2.14 Вычислять дисперсию и среднее квадратическое
(стандартное) отклонение дискретной случайной
величины
Критерий оценивания Обучающийся
 Вычисляет математическое ожидание дискретной
случайной величины
 Применяет свойства математического ожидания
 Вычисляет дисперсию дискретной случайной величины
 Вычисляет среднее квадратическое отклонение
дискретной случайной величины
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Дан закон распределения случайной величины X.
х 4 5 6 7 8
Р (Х = х) 0,25 0 0,4 0,2 0,15
Найдите М (3Х-1).
Дескриптор: Обучающийся
— использует формулу нахождения математического ожидания;
— вычисляет значение математического ожидания;
— применяет свойства математического ожидания дискретной случайной
величины;
— вычисляет значение математического ожидания данного выражения.
Задание 2
В ходе некоторого эксперимента был составлен закон распределения случайной величины X:
х 0 2 4 6 8
Р (Х = х) 0,35 k 0,05 0,2 0,15
a) Найдите значение k.
b) Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины.
Дескриптор: Обучающийся
— использует закон распределения дискретной случайно величины;
— находит значение параметра;
— вычисляет математическое ожидание;
— использует формулу дисперсии;
— вычисляет дисперсию;
— находит значение среднего квадратического отклонения.
91
Задание 3
На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее
движение автомашины с вероятностью 0,5.
a) Составьте ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой
остановки.
b) Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение этой случайной величины.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет все возможные варианты;
— вычисляет вероятности данных исходов;
— составляет закон распределения;
— вычисляет значение математического ожидания;
— вычисляет значение дисперсии;
— находит значение среднего квадратического отклонения.
92
Цель обучения 10.3.2.15 Решать задачи с использованием числовых
характеристик дискретных случайных величин
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает задачи с использованием числовых
характеристик случайных величин
Уровень мыслительных
навыков
Навыки высокого порядка
Задание 1
Число бракованных изделий из 1000 производимых на двух однотипных станках, имеет
соответственно законы распределения:
Х 0 1 2 3 4
р 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
У 0 1 2 3 4
р 0,15 0,2 0,25 0,3 0,1
Сравните средние значения и дисперсии числа бракованных изделий, выпущенных на данных
станках. Какому станку Вы отдадите предпочтение при покупке? Продукция какого станка
является более «стабильной»?
Дескриптор: Обучающийся
— вычисляет значение математического ожидания;
— вычисляет значение дисперсии;
— сравнивает найденные значения;
— делает вывод о том, какой станок предпочтительнее.
Задание 2
Необходимо сравнить по стабильности результатов, представленных в таблице, и принять в
команду одного из двух футболистов, участвовавших в играх пяти сезонов и забивших
одинаковое количество голов.
Условный номер
сезона
1 2 3 4 5
Число голов, забитых
игроком Х
18 23 19 17 23
Число голов, забитых
игроком У
19 16 22 23 20
Дескриптор: Обучающийся
— вычисляет значение математического ожидания;
— вычисляет значение дисперсии и среднее квадратичное отклонение;
— сравнивает найденные значения;
— делает вывод о том, какой игрок стабильнее.
Задание 3
Жан 7 раз проходил тесты по грамматике, в каждом из которых было по 10 заданий. Мальчик
узнал результаты только 5 тестов. Это были баллы: 9, 5, 7, 9, 10. Он спросил учителя о
результатах двух других тестов, на что учитель сказал, что мода результатов равна 9, а
среднее значение равно 8.
93
Зная, что Жан получил 10 только однажды, найдите недостающие результаты, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение результатов.
.
Дескриптор: Обучающийся
— составляет уравнение с двумя неизвестными для среднего значения;
— применяет свойства числовых характеристик случайных величин;
— находит недостающие результаты;
— вычисляет дисперсию;
— находит значение среднего квадратического отклонения.
94
Цель обучения 10.3.2.16 Распознавать виды распределения дискретных
случайных величин: биномиальное распределение,
геометрическое распределение, гипергеометрическое
распределение
10.3.2.17 Знать формулировку закона больших чисел
Критерий оценивания Обучающийся
 Распознает виды распределения дискретных случайных
величин
 Решает задачи на нахождение вероятности случайного
события
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Из ящика, содержащего 7 стандартных и 3 бракованных детали, извлекают случайным
образом, без возвращения, 2 детали.
a) Составьте таблицу закона распределения случайной величины Х – числа выбранных
стандартных деталей и определите вид распределения.
b) Вычислите вероятность того, что в выборке будет две стандартных детали.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет вид распределения;
— определяет все возможные варианты извлечения двух деталей;
— вычисляет вероятности данных исходов;
— составляет таблицу закона распределения;
— выбирает необходимую вероятность и записывает ответ.
Задание 2
Вероятность попадания в мишень одним выстрелом
1
4
.
a) Какова вероятность того, что из 6 выстрелов не будет ни одного попадания?
b) Составьте таблицу закона распределения случайной величины Х – числа попаданий и
определите вид распределения.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет вид распределения;
-определяет все возможные варианты попаданий и промахов при 6 выстрелах;
— вычисляет вероятности данных исходов;
— заполняет таблицу закона распределения;
— выбирает необходимую вероятность и записывает ответ.
Задание 3
Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игральной кости 3 очка выпадут ровно 2
раза?
Дескриптор: Обучающийся
— определяет вид распределения;
— вычисляет вероятность;
— записывает ответ.
95
Задание 4
Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом, без возвращения,
извлекают 4 шара.
a) Составьте таблицу закона распределения случайной величины Х – числа выбранных
черных шаров и определите вид распределения.
b) Вычислите вероятность того, что в выборке будет не более трех черных шаров.
Дескриптор: Обучающийся
— определяет вид распределения;
— определяет все возможные варианты извлечения четырех шаров;
— вычисляет вероятности данных исходов;
— заполняет таблицу закона распределения;
— вычисляет вероятность согласно условию задачи;
— записывает ответ.