ГЛАВНАЯ Образцы планов Математика Геометрия 10 класс. Краткосрочный планы КСП

Геометрия 10 класс. Краткосрочный планы КСП

2542
0

Алгебра и геометрия  10 класс

 ПЕРЕЙТИ ПО ССЫЛКЕ 

 

Тема Аксиомы стереометрии                                     Клас:10         урок 1

 

Цель  способствовать развитию, у учащихся, навыков наглядно отражать на чертежах взаимное расположение прямых и плоскостей и навыков изображения призм, пирамид, цилиндра, конуса, шара.

 

результаты обучения: умеют наглядно отражать на чертежах взаимное расположение прямых и плоскостей и  изображать на плоскости  призму, пирамиду, цилиндр, конус, шар.

Ученик А   изображает  стереометрических фигуры на плоскости, знает способы задания плоскости, использует аксиомы и следствия из них при решении задач, владеет навыками построения и обозначения элементарных геометрических фигур стереометрии, консультирует одноклассников.

Ученик В изображает  стереометрических фигуры на плоскости, знает способы задания плоскости, владеет навыками построения и обозначения элементарных геометрических фигур стереометрии

Ученик С изображает и обозначает элементарные фигуры стереометрии, выполняет поручения одноклассников, следит за работой учеников в группе.

 

Этапы урока/ время Действия

 

Оценивание
Учитель Ученик
Вводная часть

(3мин)

Приветствует учеников

Организует   коллаборативную среду

 

Ученики приветствуют учителя

Встает  в круг. Проговаривает пожелания своему соседу.

 

 

 

Подготовка к обучению (объединение в группы)

(2мин)

Раздает карточки  для объединения в группы.

Учитель приглашает учеников занять свои места в группах

Выбирают  карточки для объединения в группы

Объединяются в группы по пять учащихся в каждой группе

 

 

 

 

«Третий лишний»

(5 мин)

 

 

Предоставляет ученикам геометрические фигуры планиметрии и стереометрии. Дает задание ученикам: а) определить «лишний»  предмет;

б) объединить  фигуры в две группы

В представленном наборе геометрических фигур

а) определяет и обосновывает « лишнюю» фигуру;

б) распределяет фигуры в группы

 

 

 

 

Презентация нового материала

«Карусель»

20 мин

 

 

Дает задание ученикам:

1.                  (ИР ) прочитать § 1стр 157-160;

2.                  (ГР) обсудить в группе следующие вопросы:

a)      Что изучаю в разделе « Стереометрия»;

b)      Назовите основные фигуры стереометрии и укажите их обозначения;

c)      Изобразите аксиомы стереометрии и выполните соответствующие обозначения;

d)      Определите способы задания плоскости в пространстве;

3.     ( ГР) Дает задание: записать ответы на заданные вопросы  на флипчарте выполнить презентацию работы

4.     наблюдает за работой учащихся

 

1.      Читает  § 3стр 17-18 учебника.

2.      Обсуждает в группе ответы на вопросы

a)      Что изучаю в разделе « Стереометрия»;

b)      определяет основные фигуры стереометрии и указывает их обозначения;

c)      Изображает аксиомы стереометрии и выполняет соответствующие обозначения;

d)      Определяет способы задания плоскости в пространстве;

3.      Оформляет ответы на вопросы

на флипчарте

4.      выполняет презентацию работы

 

 

 

«Плюс, минус, интересно»

 

Практическое применение нового материла

«Найди ошибку»

 

Дает задание ученикам внимательно изучить рисунки и обосновать где была допущена ошибка

Р

О            Е     К

А                                                  В

С

ОК∩РС=Е

 

      E                    D1

В1                               С1

А1

В

С

А                                  D

A1D∩AB1=E

 

                            D1

R

 

В1                               С1

А1

В

С

А           T        D

AA1∩RT=M

M

 

 

 

 

 

 

 

Изучает рисунок и исправляет допущенные ошибки

Определяет ошибку ОК∩РС=Е

 

 

 

 

 

 

Определяет ошибку A1D∩AB1=E

 

 

 

 

 

Определяет ошибку AA1∩RT=M

 

 

Оценка по выработанным критериям

«Светофор»

Заключительная  часть

1мин

 

« Пресс- конференция»

Домашнее задание стр. 157 § 1

Стр. 160 №636, №637

 

 

Вызывает к доске представителя с каждой команды. Эти ученики играют роль «Звезды» . Остальные ученики играют роль «Журналистов» Журналисты задают вопросы «Звездам»

 

Записывает   домашнее задание

 

 

« Звезда» дает ответ на поставленный ему вопрос « Журналиста»

 

 

 

 

 

 

Рефлексия

2 мин

 

Наблюдает за ответами учеников. Корректирует дальнейшую работу по изучению темы учениками  

Располагает  стикеры  на лестнице успеха

 

Лестница успеха (знаю, понимаю, умею)

 

 

Дата:                                                                            Класс: 10        урок  3-4
Тема: Простейшие следствия аксиом
Цель урока: Ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;

Изучить аксиомы, следствия из аксиом, теоремы, следствия о взаимном расположении  прямых и плоскостей в пространстве;

Выработать навыки решения задач по данной теме;

Формирование представлений о целостности и непрерывности курса геометрии;

Развитие пространственного представления геометрических тел.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Создает психологическую атмосферу в классе. С помощью разрезанных пазлов, класс делится  на группы. Пазлы
10 мин. II. Подготовка к восприятию новой темы. Проверяет знания и умения учащихся для подготовки к новой теме.

 

Математический диктант (с последующей проверкой).

(Используется раздаточный материал)

1). Сформулируйте аксиомы стереометрии:

Аксиома 1. __________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Аксиома 2. __________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Аксиома 3. __________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2). Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

а). Для любой прямой существуют точки, принадлежащие ей, и _____________ ______________________________________________________________________

б). Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом ______________________________________________________________________

в). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом_________ ______________________________________________________________________

г). Если

д). Если

 

Демонстрируют свои знания, умения. Карточки
20 мин. III. Актуализация знаний. Ставит цель занятия перед учащимися. Организует восприятие и осмысление новой информации.

Для свободного размышления предлагает ученикам  составить «Кластер».

Работая в группах, ученики самостоятельно составляют кластер.

Объяснение нового материала сопровождается  презентацией№1

 

 

 

 

 

 

 

 

1.      Решение задачи для группы

 

 

                                                                                           

 

 

 

 

2.      Самостоятельное работа для группы .

 

 

1 Группа. Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы куба? Заштрихуйте соответствующие плоскостям грани куба.

2 группа. Верно ли выполнено на рисунке следующее задание: “Изобразите плоскость  , проходящую через точку С, не принадлежащую плоскости   и пересекающую плоскость   в точках А и В, и линию пересечения этих плоскостей”. При необходимости исправьте рисунок.

3 группа. Укажите ошибки на рисунках.

 

4 группа. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?

 

 

Флипчарт
5 мин. IV. Закрепление урока. Закрепить урок по методу «Призма».

 

Решение кроссворда.

По горизонтали:

1. Тело, ограниченное конечным числом многоугольников.
2. Ограниченная замкнутая область в пространстве.
3. Буква.
4. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
5. Ситуация, в которой требуется найти решение.
6. Комплект приемов и операций, необходимых для решения задачи.
7. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур, расположенных в одной плоскости.
8. Логическое рассуждение, обосновывающее или опровергающее какое-либо утверждение.

По вертикали:

1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
2. Утверждение, которое принимают за одно из основных положений теории.
3. Математическая модель конфликтной ситуации.
4. Предложение, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
5. Простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением.
6. Операция.
7. Одно из основных понятий математики.

 

 

 

Ученики обсуждают в парах и представляют всему классу. Бумага А4
5 мин. V. Итог урока. Контролирует за результатами учебной деятельности, осуществляемый учителем и  учащимися. Систематизирует и обобщает совместное  достижение. Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

Самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Оценочный лист

 

Стикеры

 2 мин. VI. Объясняет выполнение домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:__________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

________________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                             Класс: 10    5 урок
Тема: Решение задач.
Цель урока: Познакомить с аксиомами стереометрии, основные понятия стереометрии

Формирование аккуратности выполнения чертежей

Использовать аксиомы стереометрии при решении задач

Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Путаница». Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.  

 

 

10 мин. II. Проверка пройденного материала.

По таксономии Блума осуществляет проверку домашней работы.

 

 

 

 

Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе. Кубик Блума
20 мин. III. Актуализация знаний

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала.» осуществляет усвоение нового материала.Контролирует выполнение записей учащимися. Предлагает ученикам составить «Синквейн»

 

 

 

 

 

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

Решение задачи для группы

Дан тетраэдр АВСD (Рис. 6). Даны следующие точки: точка Е – внутренняя точка ребра АВ, точка Р – внутренняя точка отрезка ЕD, точки М и К, соответственно, на ребрах ВD и DС.

1 группа  а) В какой плоскости лежит прямая

Ответ: . Прямая РЕ лежит в плоскости АВD, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка Е лежит в плоскости АВD и точка Р лежит в этой же плоскости. Значит, по второй аксиоме все точки прямой РЕ лежат в плоскости АВD.

б) В какой плоскости лежит прямая

Ответ: . Прямая MK лежит в плоскости DBC, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка M лежит в плоскости DBC и точка Р лежит в плоскости DBC. По второй аксиоме все точки прямой MK лежат в плоскости DBC.

в) В каких плоскостях лежит прямая

Ответ: Прямая BD лежит в плоскостиBDА и в плоскости BDС. Значит, прямая BD одновременно лежит в двух плоскостях. Прямая BD есть линия пересечения двух плоскостей. Говорят, что грани АBD, BDС пересекаются по прямой BD. Это можно записать так:

.

г) В каких гранях лежит прямая ?

Ответ: Прямая АB лежит в грани АВС и в грани АBD. Значит, прямая АВ есть линия пересечения двух этих граней.

д) В каких гранях лежит прямая ?

Ответ: Прямая EC лежит в плоскости АВС и в плоскости ECD, так как точки Е и С лежат одновременно в плоскости АВС и в плоскости ECD. Значит, прямая ЕС есть линия пересечения этих плоскостей.

 

2 группа

а) Найдите точку пересечения прямой DК с плоскостью АВС.

Решение:

Прямая DК содержит точку С. Плоскость АВС содержит точку С. Значит, прямая DК и плоскость АВС пересекаются в точке С.

б) Найдите точку пересечения прямой СЕ с плоскостью АDВ.

Решение:

Точка Е принадлежит и прямой СЕ, и плоскости АDВ. Значит, Прямая СЕ пересекается с плоскостью АDВ в точке Е.

3 группа

а) Найдите точки, лежащие одновременно в плоскостях АDВ и DВС.

Решение:

Точка В и точка D одновременно лежат и в АDВ, и в DВС. Значит, . Все точки прямой DВ являются ответом.

б) Найдите прямые, по которым пересекаются плоскость АDВ и DВС.

Решение:

Точка В и точка D одновременно лежат и в АDВ, и в DВС. Значит, прямая DВ есть прямая, по которой пересекаются заданные плоскости. 

в) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости АDВ и СDА.

Решение:

Точки А, D лежат в плоскости АDВ, а также точки А, D лежат в другой плоскости СDА. Значит, АD – линия их пересечения: .

г) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости РDС и АВС.

Решение:

Плоскость РDС совпадает с плоскостью ЕDС. Точка Е и точка С одновременно лежат в двух плоскостях: РDС и АВС. Значит, СЕ – это линия пересечения двух плоскостей.

 

10 мин. IV.Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.

 

 

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

 

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Дерево Блоба

 

Стикеры

 2 мин. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:

Класс: 10        6   урок

Тема: Контрольная работа №

 

Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;

.

 

Деятельность учителя

 

Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».

 

Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников. мяч
35 мин. III. Актуализация знаний.  Постановка цели урока.

.

Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин. V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.

 

Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями. светофор

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                      Класс: 10         урок 7-8
Тема:  Параллельность  прямых в пространстве.
Цель урока: ввести понятие параллельных прямых в пространстве; рассмотреть свойства параллельных прямых; рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых;  доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых;  закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды;

развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления, внимания; развитие умения четко выполнять чертежи

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Путаница». Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель. Мяч

 

 

10 мин. II. Проверка пройденного материала.

По методу  «Броуновское движение»

осуществляет проверку домашней работы.

1.       Верно ли, что если концы отрезка лежат в данной плоскости, то и его середина лежит в данной плоскости?

2.      Могут ли две плоскости иметь общую точку, но не иметь общей прямой?

3.      Точка А не лежит в плоскости KMN. Назовите прямую пересечения плоскостей AMN и AKM.

4.      Даны точки А, В, С и D. Плоскость α проходит через прямую АВ, но не проходит через точку С. Прямые AD и ВС пересекаются в точке В. Сколько данных точек лежит в плоскости α?

5.      В пространстве даны прямая и точка. Сколько различных плоскостей можно через них провести?

6.      Верно ли, что если три данные точки лежат в одной плоскости, то они не лежат на одной прямой?

7.      Могут ли три прямые иметь общую точку, но не лежать в одной плоскости?

8.      Три прямые пересекаются в точке А. Через данную точку необходимо провести плоскость, содержащую ровно две из трех данных прямых.

Сколько таких плоскостей можно провести? Рассмотрите все возможные случаи.

 

 

Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе.
20 мин. III. Актуализация знаний

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися.

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

                                 Изучение нового материала 

1.

 

2.   Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.

Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями).

 

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

 

3. Докажем теорему о параллельных прямых.

Теорема:

Дано: А; А ∈ а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2).

 

 

 

Доказательство:

По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей.

Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма: а || b; α; а ∩ α = А (рис. 3).

Доказать, что b ∩ α.

Доказательство:

1. а || b определяют плоскость β.

2. Получили, что α и β имеют общую точку А, по аксиоме А3   поэтому  поэтому В ∈ α следовательно, В ∈ b, b ∈ α.

Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки В. А это означало бы, что b ⊂ α.

Если бы прямая b имела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью α, то она целиком бы лежала в плоскости α, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости α и плоскости β, то есть b ≡ m, но это невозможно, так как по условию а || b, и а ⊂ m. Значит,b ⊂ α = B. Лемма доказана.

 

Задание для группы

 

1 группа

 

Дано: М — середина BD; N — середина CD; Q — середина АС; Р — середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).

Найти: PMNQP — ?

 

Решение:

1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ; PQ || BC.

2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN; NQ || DA.

3. По определению MNQP — параллелограмм.

4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ РMNQP = 2(7 + 6) = 26.

(Ответ: 26 см.)

 

 

 

 

Подведение итогов

 

 

2 группа Даны скрещивающиеся прямые ,   и точка . Провести через точку  прямую, пересекающую прямые  и .

Решение. Если точка  лежит на одной из прямых  или , то задача тривиальна и имеет бесконечное множество решений. Пусть, например, . Выберем на прямой  произвольную точку  и проведем искомую прямую .

 

 

Рассмотрим случай, когда точка T не лежит ни на одной из прямых , . Проведем плоскость  через прямую  и точку . Пусть  (если , решений не существует). Проводим прямую . Если , то прямая  – искомая. Если , решений не существует.

3 группа. В планиметрии справедлива теорема: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Справедлива ли эта теорема в стереометрии?

 

Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед .  и , но прямые  и  не параллельны (это скрещивающиеся прямые).

Ответ: нет.

10 мин. IV.Итог урока. По методу «Ромашка Блума» закрепляет урок. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.

 

1.      Какие две прямые в пространстве называются параллельными?

2.      Сформулируйте и докажите теорему о параллельных прямых.

3.      Сформулируйте лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

4.      Если две прямые параллельны третьей прямой, то они …? Докажите.

5.      Прямая и плоскость называются параллельными, если …?

Сформулируйте и докажите теорему о параллельности прямой и плоскости

 

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Разноуровневые

карточки

 

 

Стикеры

 

Светофор

 

 

 2 мин. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

Задача 1 Прямые  и  скрещивающиеся. Провести прямую, пересекающую  и параллельную прямой .

 

Решение. На прямой  возьмем произвольную точку . Проведем плоскость  через прямую  и точку . В плоскости  через точку  проводим прямую . Прямая  – искомая.

Задача2  Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости.

 

Решение. Если данная точка  лежит на данной плоскости α, то задача не имеет решения. Пусть . Проведем в плоскости  любую прямую . Через прямую  и точку  проведем плоскость . В плоскости  проведем через точку  прямую , параллельную прямой . Прямая  параллельна плоскости  по признаку параллельности прямой и плоскости.

Задача 3 На ребрах AB,   и  куба  взяты соответственно точки ,  ,  . Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки ,  ,  .

 

 

Решение. Если пересечением многогранника и плоскости является многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника. Поскольку точки ,  лежат в плоскости , то вся прямая  лежит в этой плоскости. Отрезок  – это след секущей плоскости на грани куба . Также легко установить, что  – след секущей плоскости на грани . Легко заметить, что прямая  параллельна плоскости . По теореме о следе секущая плоскость оставляет на грани  след, параллельный . Проводим отрезок . Трапеция  – искомое сечение.

Задача4. Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. Доказать, что эта па-ра плоскостей определяется единственным образом.

 

 

Решение. Пусть прямые  и  скрещивающиеся. Выберем на прямой  произвольную точку  и проведем через нее прямую . На прямой  выберем произвольную точку  и проведем через нее прямую . Прямые  и  определяют плоскость ; прямые  и  определяют плоскость . Плоскости  и  параллельны по признаку параллельности плоскостей. Эта пара плоскостей единственна, так как она не зависит от выбора точек  и .

 

 

 

Дата:                        Класс:10    урок 9-10

 

Тема Скрещивающиеся прямые
Цель урока: Ввести понятие скрещивающихся прямых. Доказать признак скрещивающихся прямых.

 

Задачи:

1. Познакомить учащихся с возможным расположением прямых в пространстве.

2. Способствовать развитию  мыслительных процессов: обобщение, систематизация; развитие памяти, аналитического и логического мышления.

3. Способствовать формированию умения рационально использовать рабочее время, адекватной самооценки.

 

Деятельность учителя

 

Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Атом и молекулы». Ученики с помощью атомов и молекул объединяются в группы.
10 мин. II. Проверка пройденного материала. Проверяет домашнюю работу по методу «Аквариум». Демонстрируют свои знания и умения.  

 

15 мин. III. Актуализация знаний.  Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По электронному учебнику учитель объясняет новую тему.

Ученики демонстрируют свои знания. Электронный учебник

 

Определение. Прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

 

Признаки скрещивающихся прямых

Признак 1. Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые скрещиваются.

 

Признак 2. Если две прямые проходят через четыре точки, не лежащие на одной прямой, то такие прямые скрещиваются.

 

Свойства скрещивающихся прямых

Теорема 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.

Теорема 2. Через две скрещивающиеся прямые можно провести пару параллельных плоскостей, и притом только одну.

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок прямой, перпендикулярной обеим этим прямым, концы которого лежат на данных скрещивающихся прямых.

 

Теорема 3. Для любых двух скрещивающихся прямых существует общий перпендикуляр, и притом только один. Длина общего перпендикуляра не превосходит длины любого отрезка, концы которого принадлежат этим прямым.

 

Определение. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми принимается равным длине их общего перпендикуляра.

 

Теорема 4. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую из них параллельно первой.

 

Теорема 5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

 

Теорема 6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость перпендикулярную одной из этих прямых.

 

Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые  и  скрещиваются. Требуется найти расстояние  между этими прямыми.

 

Способ 1 (векторный). Пусть  и  – направляющие векторы прямых  и . Пусть  – общий перпендикуляр этих скрещивающихся прямых, причем , . Выберем точки , . Тогда

,

где  и  – коэффициенты, которые определяются из условий   и  . Тогда .

 

Способ 2 (координатный).  Пусть  и  – параллельные плоскости, проходящие через прямые  и . Тогда эти плоскости будут иметь уравнения

Следовательно, .

Способ 3 (конструктивный). На прямой  выберем точку  и опустим из нее перпендикуляр  на прямую . Через прямую  и точку  проведем плоскость . Из точки  прямой  ( ) опустим перпендикуляр  на плоскость . Найдем точку  пересечения прямой  c прямой . Затем через точку  параллельно прямой  проведем прямую, которая пересечет прямую  в точке . Построим параллелограмм . Плоскость  будет перпендикулярна прямой . Ортогональной проекцией прямой  на плоскость  будет точка , а прямой  – прямая . Значит,

,

здесь  – основание высоты прямоугольного треугольника         (

 

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Третий случай расположения прямых в пространстве.

Прямые a и b не лежат в одной плоскости.

4. Признак скрещивающихся прямых.

5. Закрепление изученной теоремы. Чертеж демонстрируется через видеопроектор.

Определить взаимное  расположение  прямых АВ1 и DC.

Указать взаимное расположение  прямой DC и плоскости АА1В1В.

Является ли прямая АВпараллельной  плоскости DD1С1С?

 

 

Задание для группы

1 группа

Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.

Построение:

1. Через точку К провести прямую а1 || а.

2. Через точку К провести прямую b1 || b.

3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.

2. Задача № 34 (устно, по готовому чертеже, демонстрация чертежа через видеопроектор). При решении требовать, чтобы учащиеся проговаривали формулировки признака.

2 группа

Доказать, что b и с скрещивающиеся.

Чтобы доказать, что b и с скрещивающиеся, что надо доказать? (Что одна из них лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость.)

Через какие прямые мы можем провести плоскость? (Через пересекающиеся, через параллельные.)

Если мы проведем плоскость α. через пересекающиеся прямые a и с, то прямая b будет параллельная плоскости α. То есть нужно провести плоскость α через параллельные прямые a и b.

(Оформление решения.)

 

3 группа . Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба с ребром .

ие граней правильного тетраэдра с ребром .

4группа . В правильной треугольной призме все ребра равны . Найти расстояние между стороной основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани призмы.

10 мин. IV. Закрепление урока. Предлагает ученикам тест на соответствие. По методу «Мозговой штурм» закрепляет урок.

Самостоятельное  работа для группы

Задача 1 Квадрат  со стороной  перегнули по прямой  (  – середина ,  – середина ) так, что образовавшийся двугранный угол  равен . Найти расстояние между прямыми  и .

Задача 2  – перпендикуляр, опущенный на плоскость . Проекция наклонной  перпендикулярна прямой . Найти расстояние между прямыми  и , если  и .

 

Ученики соотносят вопросы с правильными ответами. Ученики демонстрируют свои знания. Тест на соответствие
5 мин. V. Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Проводит рефлексию. Оценивают работу своих одноклассников.

 

Дерево Блоба

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: «Параллельность прямой и плоскости.».  урок 11

Цель: создать условия для того, чтобы  к концу урока учащиеся будут владели  следующими умениями:

— моделировать примеры расположения прямых и плоскостей в пространстве, приводить примеры из окружающей обстановки;

-знать формулировки признаков и свойств параллельных прямых и плоскостей, применять их при решении задач, в том числе прикладных.

 

Этапы урока. Деятельность учителя Деятельность учащихся Проблема Используемые модули Дифференциация
 

I.

 

1.

 

 

 

 

 

 

2.

 

3.

 

 

4.

 

 

Организационный момент.

Приветствие. Психологический настрой на урок. Девиз урока:

·         Не отставать

·         Не ждать тех, кто позади

·         Догонять тех, кто  впереди.
«Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед»

А. Нивен

Настрой на тему урока: объявление темы.

Цели урока – определить.

 

 

Ознакомление с оценочным листом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— записывают  тему;

 

-сами дети с помощью учителя. Записать- по желанию;

-знакомятся, заполняют оценочные листы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Повышение мотивации к обучению

 

 

-ИКТ (на ИД- слайды с темой, эпиграфом)

 

 

 

Диалогическое  обучение

 

-Критическое мышление

-Диалогическое обучение

-Оценивание для обучения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.

1.

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

3.

 

 

4.

 

5.

 

 

6.

 

Актуализация знаний учащихся.

Задания : 1) прямые МС и МD пересекают плоскость a в одной точке;

2) прямые МС и МD пересекают плоскость a в разных точках;

3) прямая а пересекает плоскость в точке А, точки М и Т лежат на прямой а по разные от точки А , через эти точки проведены параллельные  прямые ММ1 и ТТ1, которые пересекают плоскость в точках М1 и Т1 соответственно

 

Задание: в  группах повторить основные термины, правила, свойства.

 

Задание: показать на подручных материалах взаимное расположение прямой и плоскости.

 

Задание: привести примеры из окружающей обстановки параллельных прямых и плоскости

Слайд презентации на примеры из окружающей обстановки

Задание: по билетам рассказать свойства, признаки, правила.

 

Подведение итогов   этапа

 

 

«Ревизиия»

-работают   в групах с учебником по терминам, признакам, свойствам параллельных прямых и плоскостей; (3 мин)

«Покажи»

-показывают взаимное расположение прямых,  прямой и плоскости (по желанию);

«Посмотри   вокруг»

-приводят примеры из окружающей обстановки параллельных прямых и плоскости

«Расскажи»

—  вытягивают вопросы и отвечает на них;

-работают с рубрикаторами

 

 

 

 

Повышение мотивации к обучению

 

 

 

 

 

Повышение мотивации к обучению

 

 

 

-Работа в парах

-Критическое мышление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Оценивание для обучения

 

 

 

 

 

 

 

-Консультации сильных уч-ся

 

 

-Выступление слабомотивированных  уч-ся

 

 

-Консультации сильных уч-ся

III.

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

3.

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

5.

 

 

 

Решение упражнений.

«Очная ставка»

Конкретизация требований к выполнению  заданий..

а) тест-экспресс

 

б) проверка теста

в) подведение итога этапа

физминутка

«Мастер – класс». Конкретизация требований к выполнению   задания

 

«Шкатулка знаний». Конкретизация требований к выполнению   задания.

 

Подведение итогов   этапа

Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости.

— Какие прямая и плоскость называются параллельными?

-Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости в пространстве.

— Доказать признак параллельности прямой и плоскости в пространстве по чертежу на слайде.

 

-Выполняют теста-экспресс (индивидуально)

-взаимопроверка по готовым ответам

-работают с рубрикаторами

 

 

-показывают, как пользоваться водяным и горизонтальным уровнем;

-демонстрируют презентацию о небоскрёбах;

 

-В группах —  обсуждают, решают задания  по готовым   чертежам.

-оформляют решение на постерах;

-спикеры (кто первый) с поддержкой группы показывает и комментирует   решение задач;

— работают с рубрикаторами. – взаимооценка  группами

-заполнение оценочных листов.

 

Повышение мотивации к обучению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Повышение мотивации к обучению

 

-Работа в группах;

-Оценивание для обучения

(взаимооценка  в парах)

 

-ИКТ(ролик с физминуткой)

 

-Работ

-Критическое мышление

 

 

-ИКТ (презентация о небоскрёбах)

 

-Диалогическое обучение

Критическое мышление

-Оценивание для обучения

 

 

-Консультации сильных и средних уч-ся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Консультации сильных и средних уч-ся

IV.

1.

 

2.

 

3.

 

 

Подведение итогов урока.

Консультации по  работе с оценочными листами.

 

 

Рефлексия. «Дартс»

 

Д/З: повторить «Параллельность плоскостей»

-Работают  с оценочными листами.

 

— выполняют рефлексию.

 

-заполняют лист-опросник, озвучивают (по желанию).

 

Повышение мотивации к обучению

-Работа в группах

-Оценивание для обучения

(оценка группы, самооценка).

Критерии: объективность, честность, толерантность.

-ИКТ (на ИД):

флипчарт  «Дартс»

-Критическое мышление.

 

 

 

Приложение1

Параллельными прямыми называются прямые, …..

 Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то…

Прямая и плоскость называются параллельными, если…

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то… 

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Признак скрещивающихся прямых.

Определение скрещивающихся прямых.

Закончи предложение: “Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то …

 

 

 

 

 

Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются

Признаки параллельности прямых в пространстве:

  • Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
  • Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

      Признаки параллельности прямой и плоскости:

  • Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
  • Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

 

 

 

 

 

 

1)                                         2)

 

 

 

4)

3)

 

 

 

 

Дата:                                                                                             Класс: 10                урок 12-13
Тема:  Параллельность плоскостей.
Цель урока: рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве;

ввести понятие параллельности прямой и плоскости;

изучить признак параллельности прямой и плоскости;

формировать умения и навыки читать и строить чертежи пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Путаница». Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.  

 

10 мин. II. Проверка пройденного материала.

По методу  «Ромашка Блума»

осуществляет проверку домашней работы.

.

 

Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе.  

Разноуровневые

карточки

 

20 мин. III. Актуализация знаний

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Кубизм» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися.

 

Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

 

 

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β

Пример:

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях — пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

 

 

Признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

 

 

Доказательство.

Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

 

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой  плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2,  значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

 

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает  прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β,  значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

 

 

Задание для группы

1 группа

 

. (еще один признак параллельности)

Дано: т ∩ п = К, т Є α, п Є α,

т || β, п || β.

Доказать: α || β.

 

2 группа

 

Дано: отрезки А1А2; В1В2; С1С2

О Є А1А2; О Є В1В2; О Є С1С2

А1О = ОА2; В1О = ОВ2; С1О = ОС2

Доказать: А1В1С1 || А2В2С2

 

3 группа

  . Дано: отрезки А1А2, В1В2, С1С2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину — точку О. Доказать: А1В1С1║А2В2С2.

Доказательство:

А1А2, и В1В2 лежат в одной плоскости по следствию из А1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).

А1В1А2В2 — параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А1В1║ А2В2

Аналогично А1А2, и С1С2 лежат в одной плоскости. А1С1А2С2 — параллелограмм.

Отсюда, А1С1 ║ А2С2

А1В1 ∩ А1С1 =А1; А2В2 ∩ А2С2 = А2.

По признаку параллельности плоскостей А1В1 С1║А2В2С2.

 

 

  4 группа:  Дано: ΔАDС. М, К, Р — середины ВА, ВС, ВD соответственно. SADC = 48 см2.

Доказать: а) МРN║ АDС. б) Найти: SMNP.

 

 

 

 

 

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

 

 

Учебник

 

10 мин. IV.Итог урока.Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.

Вопросы для закрепление

·         Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?

·         Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?

·         . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?a и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости aПлоскости

·         Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?

·         ?a. Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости aБоковые стороны трапеции параллельны плоскости

·         Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?

·         Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

·         Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?

·         Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?

·         ?a, то и третья сторона параллельна плоскости aВерно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

Фишки

 

Стикеры

 

 

 

 

 2 мин. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                 Класс: 10   урок 14-15
Тема: Свойства параллельных плоскостей.
Цель урока: .

Общеобразовательные:

организовать работу учащихся для формирования знания о свойствах параллельных плоскостей;

формировать навыки применения новых знаний на репродуктивном уровне.

. Развивающие:

содействовать развитию наглядно-образного мышления, формированию потребности применять методы исследования;

создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету;

развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся;

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится…».

 

Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.
10 мин. II. Проверка пройденного материала.

По таксономии Блума осуществляет проверку домашней работы.

Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе.

Кубик Блума

 

Фронтальный теоретический опрос:

— Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей.

α
β
α
β

 

 

 

 

β

α Ç β

α и β — совпадают                         α çç β                                                                 

 

— Какие плоскости называются параллельными? (Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются)

— На практике в столовой, где встречаетесь с параллельными плоскостями? (Нарезка хлеба, при нарезке хлеба плоскость ножа остается в параллельных плоскостях. Газовая плита и кастрюли стоящие на ней. Плоскость газовой плиты должна быть параллельна плоскости пола (т.к. горизонтальной). Если это не будет выполнятся, жидкость из кастрюли будет выливаться.)

— Сформулируйте признак параллельности плоскостей в пространстве. (Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости  параллельны.)

Выслушивается решение задачи № 55.

Мы вспомнили теоретический материал, а теперь проверим ваши знания.

Задание 1 Тест. Учащиеся получают задание и выполняют его самостоятельно.(Можно пользоваться стереометрическим набором).

1. Плоскость α  параллельна прямой в, а прямая в  параллельна плоскости g. Взаимное расположение плоскостей α и g.

а) параллельны  +

б) пересекаются  +

в) совпадают +

2. Плоскость g пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а и  в. Взаимное расположение плоскостей α и β.

а) параллельны  +

б) пересекаются  +

в) совпадают

3. Каждая из плоскостей α и β параллельна плоскости g. Взаимное расположение плоскостей α и β.

а) параллельны  +

б) пересекаются

в) совпадают

4. Каждая из плоскостей α и β параллельна прямой а. Взаимное расположение плоскостей α и β.

а) параллельны  +

б) пересекаются  +

в) совпадают +

Учащиеся выполняют тест. Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга. На доске высвечиваются правильные ответы. Заполняются листы учета знаний. Ученики по очереди устно объясняют свое решение.

 

Критерии:

Всё правильно – 3 балла,
1 ошибки– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.

20 мин. III. Актуализация знаний

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала.Контролирует выполнение записей учащимися. Показывает сюжет о писателе.

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

 

Свойства параллельных плоскостей.

1 свойство (единственность параллельной плоскости).

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость ей параллельную и притом только одну.

2 свойство (свойство трёх параллельных плоскостей).

Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

3 свойство (пересечение параллельных плоскостей прямой).

Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

 

4 свойство (свойство прямых, высекаемых на параллельных плоскостях).

 

 

 

 

 

 

 

5 свойство (свойство отрезков параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями).

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мозговой штурм.

Задание   Верно ли, что (Можно пользоваться стереометрическим набором). Работа в группах, коллективная работа.

 

1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны. Да
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости Нет
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны Нет
4. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны. Да
5. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то она пересекает и другую. Нет
6. Отрезки прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Нет

 

адачи в рисунках (самостоятельная работа)

 

Задание общее  для группы , выполняется на подготовленных подписанных листочках с копировальной бумагой.

 

2. Экспресс-контроль

После решения задач открывается краткое решение и ответы к задачам. Учащиеся ставят в листы учета знаний столько баллов

Учащиеся подсчитывают свои баллы и выставляют себе оценки.

 

Критерии:

35 – 46 баллов  —  5,
24 — 34 баллов   —  4,
9 – 23  баллов  —  3.

 

10 мин. IV.Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.

 

Устная работа для закрепление урока (математический диктант).

 Теоретический опрос. Каждый учащийся отвечает на вопросы:

1.      Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

2.      Какие плоскости называются параллельными?

3.      Признак параллельности прямой и плоскости.

4.      Признак параллельности плоскостей.

5.      Признак параллельности прямых.

6.      Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

7.      Признак скрещивающихся прямых.

8.      Определение скрещивающихся прямых.

9.      Свойства параллельных плоскостей.

10.  Закончи предложение: “Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то …

11.  Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то …

12.  Определение параллельных прямых …

 

 

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

 

 

    Мне всё понятно. Вопросов нет. Мне ничего  не понятно. У меня  есть вопросы.
Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Дерево Блоба

 

стикеры

 2 мин. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:

Класс: 10       1 6   урок

Тема: Контрольная работа №

 

Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;

.

 

Деятельность учителя

 

Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».

 

Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников. мяч
35 мин. III. Актуализация знаний.  Постановка цели урока.

.

Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин. V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.

 

Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями. светофор

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                        Класс: 10       урок 17-
Тема:  Параллельное проектирование.
Цель урока: Образовательная: изучение понятия “параллельное проецирование” и его свойств, формирование навыков построения изображений прямых:

1) Пересекающихся;
2) Параллельных;
3) Скрещивающихся.

Развивающая: развитие абстрактного мышления, пространственного изображения, развитие познавательного интереса.

Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Путаница». Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.  

Мяч

 

 

 

 

10 мин. II. Проверка пройденного материала.

По методу  «Ромашка Блума»

осуществляет проверку домашней работы.

Математический диктант  для повторение :

1.      Сколько точек характеризуют прямую (Две. Через одну точку проходит бесчисленное множество прямых).

2.      Верно ли, что через любую точку пространства можно провести множество прямых, параллельных данной прямой?(Нет. По теореме о существовании прямой, параллельной данной прямой, через точку пространства можно провести единственную прямую).

3.      Закончите фразу: “Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая эту плоскость… (Так же пересекает – по лемме о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми).

4.      Верно ли утверждение, что две не пересекающиеся прямые в пространстве, параллельны? (Нет. В пространстве не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые).

5.      Верно ли утверждение, что если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?(Нет, они могут так же пересекаться и быть скрещивающимися).

 

 

Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе.
20 мин. III. Актуализация знаний

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Поп -корн» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися.

Точка А` является параллельной проекцией точки А на плоскость π в направлении прямой . Если точка А принадлежит прямой , то параллельной проекцией А на плоскость π считается точка пересечения прямой с плоскостью π. Такое соответствие называется параллельным проектированием. (рис. 1)

 

 

 

 

Пусть Ф – некоторая фигура в пространстве. Проекции её точек на плоскость π образует фигуру Ф`, которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость π в направлении прямой . (рис. 2)

 

 

Свойство №1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой , то её проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой , то её проекцией является прямая. (рис. 3)

 

Свойство №2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок в зависимости от того, лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой , или нет. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется. В частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего отрезка. (рис. 4)

 

Свойство №3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой , то их проекции в направлении могут быть или параллельными прямыми, или одной прямой. (рис. 5)

 

 

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

 

1 группа. Как должны быть расположены две прямые, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, не принадлежащую этой прямой?
             Решение. Рассмотрим все возможные случаи. Если прямые пересекаются и ни одна из них не параллельна направлению проектирования, то они проектируются в пересекающиеся прямые (рис. 6); если же одна из них параллельна направлению проектирования, то плоскость, которая определяется этими прямыми, проектируется в одну прямую (в этом случае плоскость параллельна направлению проектирования). (рис. 7)

 

 

 

 

2 группа: . Отрезок АВ, равный а, параллелен плоскости проектирования. Найди длину его параллельной проекции.
Решение. Пусть параллельными проекциями точек А, В будут соответствовать точки А’
, В’. Тогда четырехугольник АВВ’А’ будет параллелограммом (АА’ параллельна ВВ’, АВ параллельна А’В’). Следовательно, АВ=А’В’= а.
Таким образом, длина параллельной проекции отрезка, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования, равна длине отрезка. (рис. 12)

 

 

 

 

 

 

 

10 мин. IV.Итог урока. По методу «ИНСЕРТ» закрепляет урок. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.

Фронтальная беседа с учащимися:

1.      В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка? (Если прямая параллельна направлению проектирования).

2.      Справедливо ли утверждение: “Параллельные прямые не параллельные направлению проектирования, проектируются в параллельные прямые”? (Нет).

3.      Справедливо ли утверждение: “Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые или в одну прямую”? (Нет).

4.      В пространстве задана прямая. Может ли ее параллельная проекция быть параллельной этой прямой? (Да).

5.      Можно ли по проекции точки на плоскость определить положение самой точки в пространстве? (Нет).

6.      В каких случаях положение прямой в пространстве определяется заданием ее проекции на плоскость? (Если прямая параллельна направлению проектирования).

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Таблица «ИНСЕРТ»

 

Светофор

 

Стикеры

 

 

 

 

 2 мин. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: «Параллельное  проектирование»  урок 18

проекции

 

Цели  урока

обучающая: организовать  исследовательскую  деятельность учащихся  на  учебном  материале;

развивающая: создать  условия  для  коммуникативного  взаимодействия

учащихся, развития оценочных  умений;

воспитытывающая: способствовать  формированию и  развитию  степени  ответственности, чувства  коллективизма.

 

Ход  урока

 

Содержание Организационная    форма Возможные  методы и приемы
 

  Организационный  этап

Задача: подготовка  учащихся  к  работе, обеспечение  мотивации учения  школьников.

 

1.Сообщение  темы  занятия.

2.Формулирование  целей  урока  вместе  с  классом.

3.Показ  социальной  и  практической  значимости

изучаемого  материала.

4.Распределение  класса  по  микрогруппам(А,В,С,Д,Е), присвоение  индивидуального  номера(А-1,  А-2 …А-5,…С-1,С-2…С-5).

5.Постановка  перед  учащимися  учебной  проблемы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Фронтальная

 

 

 

 

Беседа.

Мозговая  атака.

Кластер.

Сообщение  цели  в  виде  проблемного

задания.

Этап  усвоения  новых  знаний  и   способов  действий.

Задача:создать  содержательные  и  организационные  условия  усвоения  темы  через  проведение  учебного  исследования.

 

1.Учебные  задания

   ( уровень «Знание»)

Практическая  работа

 «Солнечные  тени  плоских  фигур»

1.Получите  и обведите  на  листе  бумаги  всевозможные  тени  предложенных  плоских  фигур.

2.Отметьте  на  тени  проекции  элементов вашей  фигуры(медиан,биссектрисс,серединных  перпендикуляров,  средних  линий).

Микрогруппы:

А-прямоугольный треугольник, квадрат;

В-тупоугольный  треугольник, прямоугольник;

С-равносторонний  треугольник, параллелограмм;

Д- равнобедренный  треугольник, ромб;

Е-разносторонний  треугольник, трапеция.

 

2.Учебные  задания

  (уровень «Понимание»)

Взаимообучение

1.Перераспределите  микрогруппы  по  принципу:

А-все  первые  номера(А-1,В-1,С-1,Д-1,Е-1);

В-все  вторые  номера, С-  все  третьи  номера,

Д- четвертые  номера, Е-пятые  номера.

2.Объясните  свое  задание  практической  работы членам  вашей  новой  группы.

 

3.Учебные  задания

    (уровень«Применение»)

 

Учащиеся  возвращаются  в   первоначальные группы.

Продолжите  и  заполните  таблицу:

 

фигура возможные      тени
Точка

Отрезок

Прямая

Угол

Треугольник  и т.д.

 

 

 

Учитель:

«В  ясный  солнечный  день  мы  видим  на  тротуарах,  на  гладких  стенах  четко  очерченные  тени  предметов.Это  солнечные  лучи  проектируют эти  предметы  на  плоскость  тротуара  или  стены. А  ведь  солнечные  лучи  исходят  не  из  точечного  источника  света. Их  излучает  вся  огромная  светящаяся  поверхность Солнца,  огромно  и  расстояние от Солнца  до  Земли, поэтому  солнечные  лучи  можно  считать  практически  параллельными. Вполне  возможно,что  идея параллельного  проектирования  подсказана  математикам  именно  механизмом  образования  солнечных  теней. В  вашей  сегодняшней  работе  солнечные  лучи — проектирующие  прямые, а  солнечные  тени-проекции».

4.Учебные  задания

    (уровень«Анализ»)

Исследовательская  работа

1.Изучите проекции  треугольников  и их  элементов. Выскажите  мнение:

«Что изменилось,  а  что  не  изменилось по  сравнению  с  оригиналом?»

2.Выскажите  суждения  о  проекциях

средней  линии  и  медиан треугольников.

3.Изучите  проекции  всех  видов  параллелограмма. Выскажите  суждения

о  сторонах, диагоналях  и  точке  пересечения  диагоналей.

 

5. Учебные  задания

    (уровень«Синтез»)

Исследовательская  работа

1.Изучите трапецию и ее проекции,    проведите  необходимые  измерения.

2.Выскажите  гипотезу об отношении оснований, отношении  их  проекций.

3.Попробуйте  гипотезу  сформулиро-

вать  в  виде  теоремы.

6. Учебные  задания

    (уровень«Оценка»)

Аргументируйте  ответы  на  вопросы:

1.При  каком  условии  плоская  фигура  равна  своей  проекции?

2.Объясните: «Могут  ли  параллельные  прямые  быть  проекциями  непараллельных  прямых?»

3.Может  ли  проекция  параллелограмма быть:

а) прямоугольником; б) квадратом;

в) ромбом; г) трапецией?

4.Что  может  являться  проекцией  скрещивающихся  прямых?

5.Приведите  примеры  параллельного  проектирования в  окружающей  действительности.

 

 

Деловая  игра

«Снежный  ком»

 

 

 

 

 

 

 

Работа  в

малых

группах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа  в

малых

группах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа  в

малых

группах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа  в  малых  группах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа  в  малых  группах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фронтальная

работа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интроактивный

режим (проблемно-поисковый  метод),

коллективная

мозговая  атака

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерактивный

режим(коллективный

способ  обучения)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экстроактивный

режим (сообщение,

беседа, объяснение),

интерактивная  доска.

 

Каждая  микрогруппа

представляет  свои  результаты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерактивный  режим (проблемное  обучение,   коллективные  способы  обучения,

учебное  исследование,  учебный  мозговой  штурм)

Обсуждение  результатов.

 

 

 

Интерактивный  режим (проблемное  обучение,   коллективные  способы  обучения,

учебное  исследование,  учебный  мозговой  штурм)

Обсуждение  результатов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экстроактивный

режим (сообщение,

беседа, объяснение,

обсуждение)

 

 

 Этап  коррекции занятия

Задача: выявить и  скорректировать пробелы  в  знаниях  и  способах  действий.

 

1.Проверьте  правильность  выполнения  исследовательской  работы,  сравнив  с  представленными  результатами.

2.Прочитайте  тему  по  указанному  учителем  учебнику.

3.Задайте  вопросы  по  своим  пробелам

учителю,группе.

 

 

 

 

 

 

 

Индивидуальная работа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерактивная  доска:  результаты  исследовательской  работы.

Анализ,  сравнение,

Сопоставление.

 

Этап  рефлексии

Задача:инициировать  рефлексию  учащихся  по  поводу  своего  эмоционального  состояния,  своей  деятельности,  взаимодействия  с  одноклассниками

1.Проведите  самооценку  по  шкале:

Знание-             1б.

Понимание-      2б.

Применение-     3б.

Анализ-             4б.

Синтез-              5б.

Оценка-              5б.

Итого-               20б

6-10б. –«3»;11-15б.-«4»;16-20б.- «5».

2.Проведите  рефлексию  по

алгоритму: «Я», «Мы»;  «Дело».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Индивидуальная работа

 

 

 

 

 

 

 

 

Лист  самооценки.

Рефлексивный  алгоритм

«Я», «Мы»;  «Дело».

«Я»- как  чувствовал себя, с  каким  настроением  работал,

доволен ли  собой.

«Мы»-комфортно  ли  было  работать  в  малой  группе.

«Дело»-достиг  ли  цели  учения, какие  затруднения  возникли, какие затруднения  были  в  общении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                  Класс: 10              урок 19-20
Тема: Сечения.
Цель урока: Развитие пространственного воображения обучаемых, их логического мышления и индуктивного анализа.

Формирования навыков решения задач на построение  сечений многогранников.

Умеют  анализировать свои действия для достижения поставленной цели, поиску оптимального пути ее выполнения, самоконтролю.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха.Разделение на группы по стратегии «Выбери меня» Ученики осмысливают поставленную цель. Дети делятся на группы с помощью наводящих вопросов учителя.  

 

 

10 мин. II. Проверка пройденного материала.

По методу «Мозговая атака» учитель организует проверку домашнего задания.

Вопросы к классу

1.Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?

  2. Что такое сечение многогранника?

/многоугольник, составленный из отрезков, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника/

4. какие многоугольники могут получится при построении сечения тетраэдра?

5. какие многоугольники могут получится при построении сечения параллелепипеда?

6. У вас на столе рабочий лист №1, подумайте и объясните как выполнить построение сечений данных многогранников плоскостью, проходящей через выделенные элементы.

7.сформулируем правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Ученики демонстрируют свои знания.
15 мин. III. Актуализация знаний. По методу «Броуновское движение» осуществляет усвоение нового материала.

Группе дается задание: Стратегия «Послушать – сговориться – обсудить»,
составить постеры и выступить с ним перед классом.

Ученики работают над постером.

Правила построения сечений многогранников:

1)   проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

 

 

 

 

 

 

 

Задание для  группы

 

 

 1  группа . Построить сечение четырехугольной пирамиды, проходящее через M, N, K.

 

Краткая запись решения

1.      M↔N

2.      MN ∩ BC = X

3.      X ↔ K

4.      XK ∩ DC = P

5.      N ↔ P

6.      XK ∩ BA = Y

7.      Y ↔ M

8.      YM ∩ AS = Q

MNPKQ – искомое сечение

 

 

 

2 . Построить сечение призмы, проходящее через точки:

K – принадлежит ребру АА1

L – принадлежит грани АА1В1В

M – принадлежит грани АВС

 

Краткая запись решения

1.      K ↔ L

2.      KL ∩ AB = X

3.      X ↔ M

4.      XM ∩ AC = P

5.      Y ↔ K

 

KXY – искомое сечение

 

2 группа . Построить сечение параллелепипеда, проходящее через  точки H, I, F:

а) используя свойство параллельных плоскостей, пересеченных третьей (Слайд 10)

б) используя метод следов

a) Краткая запись решения

1.      H ↔ I

2.      H ↔ F

3.      FL || HI

4.      FL ∩ AD = L

5.      IK || HF

6.      IK ∩ DC = K

7.      L ↔ K

 

 

 

HIKLF – искомое сечение

б)

Краткая запись решения

1.      H ↔ F

2.      H ↔ I

3.      HF ∩ BA = X

4.      HI ∩ BC =Y

5.      XY ∩ AD = L

6.      XY ∩ CD = K

7.      F ↔ L

8.      I ↔ K

HIKLF – искомое сечение

2 Задача. Построить сечение призмы, проходящее через точки H, K, R. (Слайд 12)

Краткая запись решения

1.      H ↔ K

2.      K ↔ R

3.      HQ || KR

4.      HQ ∩ B1B =X

5.      X ↔ R

6.      XR ∩ AB =P

7.      P ↔ Q

HKRPQ – искомое сечение

3 группа

Задача1. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через  точки M, N, K:

а) используя свойство параллельных плоскостей, пересеченных третьей (Слайд 13)

б) используя метод следов (Слайд 14)

a)

Краткая запись решения

1.      M ↔ N

2.      N ↔ K

3.      MN ∩ D1C1 = X

4.      XK ∩ DC = P

5.      PQ || NM

6.      QP || KN

7.      R ↔ M

MNKPQR – искомое сечение

б)

Краткая запись решения

1.      M ↔ N

2.      MN ∩ D1C1 = X

3.      X ↔ K

4.      XK ∩ DC = P

5.      N ↔ K

6.      D1D ∩ XK = Y

7.      A1D1 ∩ MN = Z

8.      Z ↔ Y

9.      ZY ∩ A1A = R

10.  ZY ∩ AD = Q

11.  M ↔ R

12.  Q ↔ P

MNKPQR – искомое сечение

 

 

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока.

 

Задание для закрепление урока

Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки:

Q – принадлежит грани ABC;

R – принадлежит ребру AB;

S – принадлежит ребру  DB.

 

Придумать и решить задачу на построение сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через 3 произвольно выбранные точки на ребрах и/или гранях.

 

Ученики делают внутренний и внешний круг. Внутренний- обсуждают тему, а внешний- наблюдает за их действиями.
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»
Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить. Написать пожелание себе с точки зрения изученного на уроке.- Что нового я узнал на уроке?
— За что я могу похвалить себя?
— Что мне не удалось сделать? Над чем надо поработать?
Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

фишки

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа  для группы

 

. Задание – построить сечения многогранников плоскость, проходящей через выделенные элементы.

 

 

Вариант 1.

 

 

 

Самостоятельная работа

Вариант 2.

 

 

 

Задание 3 Выполнение самостоятельной работы (по готовым чертежам).

Перед тем, как сдать работы выполняется самопроверка по готовым слайдам.

 

 

 

 

 

Рабочий лист №1

А
B
S

 

 

 

M
C
N
K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D
N

2.

M
А
B
C
Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рабочий лист №2_____________________

Самостоятельная работа

Вариант 1.

 

 

 

 

Рабочий лист №2_____________________

Самостоятельная работа

Вариант 2.

 

 

 

 

Рабочий лист №3

 

Рабочий лист №4

1.

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:

Класс: 10      21   урок

Тема: Контрольная работа №

 

Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;

.

 

Деятельность учителя

 

Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».

 

Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников. мяч
35 мин. III. Актуализация знаний.  Постановка цели урока.

.

Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин. V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.

 

Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями. светофор

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                            Класс:10                          урок 22-23
Тема:  Решение задачи   на сечене
Цель урока: научить строить сечения
многогранников.Задачи:

выработать навыки решения задач на построения
сечений тетраэдра и параллелепипеда

развивать пространственное мышление

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха.Разделение на группы по приему «Атомы и молекулы» Ученики осмысливают поставленную цель. Дети делятся на группы.
5 мин. II. Мотивация к изучению нового.

С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока.

Ответьте на вопросы:

1.      Какой многогранник называется
параллелепипедом?

2.      Какой многогранник называется тетраэдром?

3.      Какие фигуры являются гранями этих
многогранников?

4.      Перечислите свойства параллельных плоскостей.

 

Ученики отвечают на вопосы учителя.
20 мин. III. Актуализация знаний

Группе дается задание: Стратегия «Послушать – сговориться – обсудить»,
составить постеры и выступить с ним перед классом.

 

 

 

 

 

 

Ответ

 

 

 

 

 

 

Ученики работают над постером. Демонстрируют свои знания.

 

Учебник

 

постеры

 

маркеры

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока.

Тест:

1.      Как называется плоскость по обе стороны, от
которой имеются точки данного многогранника.

2.      Какое максимальное число сторон может иметь
сечение параллелепипеда?

3.      Какое максимальное число сторон может иметь
сечение тетраэдра?

§  Варианты ответов:

§  Сечение

§  Три

§  Четыре

§  Две

§  Секущая плоскость

§  Шесть

§  Секущая плоскость

 

Ученики делают внутренний и внешний круг. Внутренний- обсуждают тему, а внешний- наблюдает за их действиями.
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»
Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.- Чему научил вас урок?
— Какое впечатление осталось у вас от урока?
Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Дерево Блоба

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:

Класс: 10      24   урок

Тема: Решение тестовых заданий
Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;

.

 

Деятельность учителя

 

Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».

 

Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников. мяч
35 мин. III. Актуализация знаний.  Постановка цели урока.

.

Устно:

1.      Если 2 плоскости имеют общую точку, то

А) они называются пересекающимися

Б) они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

В) они параллельны

2. Через прямую и не лежащую на ней точку

А) проходит плоскость и притом только одна.

Б) проходит бесконечное количество плоскостей

В) нельзя провести плоскость

3. Если прямая пересекает две параллельные прямые, то

А) она пересекает плоскость, образованную этими прямыми

Б) она параллельна плоскости, образованной этими прямыми

В) она лежит в плоскости, определяемой этими параллельными прямыми

4. Две прямые называются скрещивающимися, если

А) они лежат в одной плоскости

Б) они не пересекаются

В) они не пересекаются и не параллельны

5. Если две прямые параллельны третьей прямой, то

А) они параллельны

Б) они лежат в одной плоскости

В) они скрещиваются

6. Если две точки прямой лежат в плоскости, то

А) прямая параллельны плоскости

Б) прямая лежит в плоскости

В) прямая пересекает плоскость

7. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то

А) линии их пересечения перпендикулярны

Б) линии их пересечении параллельны

В) линии их пересечения скрещиваются

8. Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

А) одну

Б) много

В) нисколько

9. Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

А) одну

Б) много

В) нисколько

 

 

 

Для решения следующей группы задач нам необходимо повторить свойства параллельных плоскостей.

.  Выход на получение новых знаний: «Метод следов».

 — Самостоятельная работа

с последующей взаимопроверкой (по слайду с готовым решением).

. Составить две задачи на построение сечений

 

 

 

 

5 мин. V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.

 

Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями. светофор

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                            Класс: 10    урок 25
Тема: Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых в пространстве
Цель урока: Формировать интерес к исследовательской и самостоятельной учебно-познавательной деятельности;

Осуществить контроль и диагностику знаний учащихся по теме;

Развивать умения, навыки умственной работы, творческого мышления, умения использовать теоретические знания при решении практических задач;

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель.
5 мин. II. Мотивация к изучению нового.

С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока.

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости(доказательство на модели).

4. Сколько можно провести в пространстве прямых, перпендикулярных данной прямой через точку, лежащую на прямой и через точку, не лежащую на данной прямой?

5. Что можно сказать о плоскости, перпендикулярной к одной из двух параллельных прямых?

6. как расположены в пространстве 2 прямые перпендикулярные одной и той же плоскости; одной и той же прямой?

7.Определение расстояния от точки до плоскости.

8. Теорема о 3-х перпендикулярах (доказательство по готовым чертежам).

9. Назвать виды параллелограммов, для которых существует точка в пространстве, равноудалённая от всех его вершин .

10. Назвать виды параллелограммов, для которых существует точка пространства, равноудалённая от всех его сторон.

 

 

 

 

 

 

 

Ученики отвечают на вопросы учителя.
20 мин. III. Актуализация знаний

Индивидуальная работа. Учитель раздает карточки.

По методу «Снежный ком» изучают новый материал. Предлагает ученикам выполнить упражнение.

Задание для группы

Ребро куба равно α.

Найти расстояние между прямыми:

1)      АD и СС1 ;

2)      ВD и АА1;

3)      АС и В1D1;

4)      СС1 и В1D.

Самостоятельное задание длоя группы

1 группа

Задача. Сторон правильного треугольника АВС равна 2√3 см. К его плоскости проведен перпендикуляр АК, равный 4см. Найдите расстояние от точки К до стороны ВС.

 

Задача 1. Отрезок АМ, равный 12 см, перпендикулярен плоскости треугольника АВС. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=АС=20см, ВС=24см.

 

Задача 2. В прямоугольном треугольнике АВС, ﮮB=α, AC=a. Через вершину  прямого угла проведен к плоскости перпендикуляр, равный а. Найдите расстояние от его концов до гипотенузы.

 

Задача3. К плоскости ромба ABCD, в котором  ﮮА=450   ,АВ=8см, проведен перпендикуляр МС, равный 7см. Найдите расстояние от точки М до сторон ромба.

 

 

2 группа

«Угол между прямой и плоскостью»

 

Задача. Через сторону АВ прямоугольника ABCD проведена плоскость α. Сторона CD удалена от этой плоскости на 3 см, СВ=6см, CD=8см. Найдите:1)угол между прямой DA и плоскостью α ,2)синус угла между прямой BD и плоскостью α.

 

   Задача1. Стороны прямоугольника ABCD равны 6см и 6√3 см. К плоскости прямоугольника через точку пересечения его диагоналей проведен перпендикуляр ОК, равный 6см. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и прямыми КА, КВ, КС и KD.

 

Задача2. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости α. Вершина А удалена от нее на 2√2 дм, ВС=АС=4дм. Найдите угол между плоскостью α и прямой: 1) АС, 2) АВ.

 

Задача3. К плоскости прямоугольного равнобедренного треугольника АВС

(ﮮС=900 ) проведен перпендикуляр МВ, равный а, АС=а. Найдите угол между :1) прямой МА и плоскостью ΔАВС; 2) прямой МС и плоскостью ΔАМВ

 

 

3 группа

 

Задача. Катет АС прямоугольного ΔАВС с прямым углом С лежит в плоскости α., а угол между плоскостями α и ΔАВС равен 600 . Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС=5см, АВ=13см.

 

 

Задача1. Через вершину D квадрата АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр DK, равный 10 см. Угол между плоскостями АВС и КВС  равен 450 . Найдите площадь квадрата АВСD.

 

Задача2. Основание АС равнобедренного ΔАВС принадлежит плоскости α, а вершина В удалена от плоскости α на 3√2 см. Найти площадь ΔАВС, если АС=18см и плоскость ΔАВС наклонена к плоскости α под углом 450.

Задача3. Тупоугольный ΔАВС (ﮮВ=1500 и АВ=АС) расположен стороной АВ на плоскости α и его плоскость составляет с   плоскостью α угол в 600. Проекция вершины С на плоскость α удалена от АВ на 12см. Найдите площадь ΔАВС.

 

 

 

4 группа

Задача. Плоскости прямоугольных треугольников АВС и АВК перпендикулярны. АВ=8см, АК=10см, ﮮАВК=ﮮАВС=900 , ﮮВАС=450 . Вычислите расстояние между точками К и С.

 

Задача 1. Плоскости квадратов АВСD и АВКМ перпендикулярны, МК=а. Найдите расстояние между точками D и М, К и С.

Задача2. Плоскости равностороннего ΔАВС и прямоугольного равнобедренного ΔАDС перпендикулярны. АВ=а, ﮮАDC=900. Вычислите расстояние между вершинами В и D данных треугольников.

 

Задача3. Плоскости равносторонних треугольников ΔАВС и ΔАВD перпендикулярны. Вычислите угол между:1) прямой DC и плоскостью АВС, 2) плоскостями АDC и ВDC.

 

 

 

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Броуновское движение» проводит закрепление урока.

 

          Задание для закрепление урока

Задача 1. Высота прямой призмы ABCLEF равна 12. Основание призмы треугольник АВС, в котором СВ = АС; АВ =18; tg угла В = 0,4. Найти тангенс угла между прямой СЕ и плоскость ALEB.

1)находим угол между прямой СЕ и плоскость ALEB.

2)из точки С опускаем перпендикуляр CD на плоскость ALEB.

3)ED – проекция СЕ на плоскость ALEB

4)угол DEC – искомый угол между прямой СЕ и плоскостью ALEB.

5)рассмотрим треугольник CED. Угол EDC = 900.

6)чтобы найти тангенс угла DEC необходимо знать катет DC и DE. Tg угла DEC =   .

7)DC найдем из треугольника DBC. Тангенс угла В =  . DC = 3.6

8)DE найдем из треугольника DEB, угол EBD = 900¸так как призма прямая.

9)так как треугольник ABC равнобедренный, то CD – высота и медиана, следовательно DB = 1/2AB и равно 9. DE2 = DB2+BE2; значит DE2= 92+122; DE2= 81+144 = 225; DE =15.

10)из треугольника DEC (угол EDC = 900) выразим тангенс угла DEC. Тангенс угла DEC =  ; tg угла DEC = 0.24.

Учитель подводит итог решения задачи, повторяя еще раз основные определения, теоремы, свойства, формулы, используемые в этой задаче.

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Найти периметр трапеции.

1) периметр трапеции равен a+b+c +d. Какое важное свойство окружности, вписанной в четырехугольник , используется при решении задачи?

2)так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных ее сторон равны, то есть а+b = с+d, где а и b — основания трапеции, а c и d -боковые стороны.

3) анализируем далее условие задачи. Точка касания делит боковую сторону трапеции на отрезки 2 и 8, значит СD =10. Какое важное свойство касательных к окружности мы используем?

4)DO = DK. (отрезки касательных, проведенные из точки к окружности равны) АК = КМ = ВF =ВМ.

5)ABCD – прямоугольная трапеция, поэтому СН=АВ, где СН – высота трапеции.

6)рассмотрим треугольник СНD, угол CHD = 900, СН =8, CD=10, значит, HD =6 (Пифагорова тройка)

7)пусть АК= х, тогда по свойству четырехугольника, описанного около окружности имеем (см.2)

Х+8+2+х = 18, х=4, значит AD = 13, BC=6 , Р =36.

8)ребята, давайте еще раз повторим свойства, теоремы, используемые при решении этой задач

Ученики делают внутренний и внешний круг. Демонстрируют свои знания.
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»
Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.- Чему научил вас урок?
— Какое впечатление осталось у вас от урока?
Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

фишки

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:___________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

______________________________________________________________________

 

 

 

Дата:                                                                                         Класс: 10          урок 26-27
Тема:  Перпендикулярность прямой и плоскости
Цель урока: закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. С помощью разрезанных пазлов делит класс на группы. Ученики осмысливают поставленную цель. Делятся на группы. пазлы
5 мин. II. Проверка домашней работы.

С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока.

Теоретический опрос

1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости;
3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости;
4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос.
(1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)

 

Ученики отвечают на вопросы учителя. карточки
20 мин. III. Актуализация знаний. С помощью метода «Фишбоун» осуществляет усвоение нового материала.

 

 

 

Демонстрируют свои знания. Отвечают на вопросы учителя.

 

Решение письменных задачи для группы

Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с последующей проверкой решения у доски.

1 группа

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 cм; PP1 = 21,5 cм; QQ1 = 33,5 cм.
Решение:

1) PP1 ⊥ α и QQ1 ⊥ α по условию ⇒ PP1 ∥ QQ1 (обосновать);
2) PP1 и QQ1 определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P1Q1;
3) PP1Q1Q — трапеция с основаниями PP1 и QQ1, проведём PK ∥ P1Q1;
4) QK = 33,5 — 21,5 = 12 (см)

P1Q1 = PK = = 9 см.

Ответ: P1Q1 = 9 см.

2 группа

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD1B1.
Решение:

1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см;

ВD = см;

2) ∆ DD1B: ∠D1DB = 90°;

DD1 = = 12 см;

 

3) SBB1D1D = BD ∙ DD1 = см2.

 

Ответ: см2.

3 группа

Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP;
2)МЕ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;

3) ∆ HPKKP = = 3 см;

4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и ; т.е. ⇒ EK = = 9 см,

РЕ = РК + КЕРЕ = 3 + 9 = 12 см.

Ответ: РЕ = 12 см.

 Самостоятельная работа  для группы  (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)

1 группа 2 группа
Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1 ⊥ ABAA1⊥ AD. Найдите B1B, если B1D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см. Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB1 ⊥ BCBB1 ⊥AB. Найдите A1A, если A1C = 13 см, BD = 16 см, AB= 10 см.
Решение:

1) AA1 ⊥ ABAA1 ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1 ∥ BB1, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD;
2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:

BD = = 20 см;

3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:

B1B = = 15 см.

Ответ: 15 см.

Решение:

1) BB1 ⊥ ABBB1 ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB1 ∥ AA1, то AA1 ⊥ (ABC) ⇒ AA1⊥ AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO = = 6 см,

AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см;
3) ∆ A1AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

AA1 = = 5 см.

Ответ: 5 см.

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока.

 

Решение задач по готовым чертежам (Устно)

№1

Дано: ∆ ABC — прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC)
ДоказатьAC ⊥ (AMB)
Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

№2

ДаноВМDC — прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB
ДоказатьCD ⊥ (ABC)
ДоказательствоMB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВ по свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

№3

ДаноАВСD – прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ BC
ДоказатьAD ⊥ AM
Доказательство:
1) ∠ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ ABBS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

№4

ДаноАВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МDМА = МС
ДоказатьMO ⊥ (ABC)
Доказательство:
1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD — равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО — медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD.
2) Аналогично доказывается в ∆ AMCMO ⊥ AC.
3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Опорные задачи:

1.      Найти проекцию точки пространства, которая равноудалена от всех вершин

n-угольника.

2.      Найти проекцию точки пространства, которая равноудалена от всех сторон

n-угольника.

3.   ABCD- прямоугольник. ВМ  АВС. Показать расстояние от точки М до сторон прямоугольника.

4.      Дан неразвёрнутый угол. Точка М равноудалена от сторон угла. Доказать, что проекция точки М лежит на биссектрисе угла.

5.      Через одну из вершин треугольника проведена пря мая, перпендикулярная к его плоскости. Найти расстояние от точки, лежащей на этом перпендикуляре до противолежащей стороны. Рассмотреть случаи: а) треугольник – прямоугольный; перпендикуляр проведён из вершины острого угла; б) треугольник – разносторонний.

Демонстрируют свои знания.
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»
Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.
Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Дерево Блоба

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                  Класс: 10    урок 28-29
Тема:  Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
Цель урока: формирование знаний учащихся о свойства перпендикулярных прямых и плоскостей.

Применение полученных теоретических знаний при решении задач;

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. С помощью разрезанных пазлов делит класс на группы. Ученики осмысливают поставленную цель. Делятся на группы. пазлы
5 мин. II. Проверка домашней работы.

По методу «Фишбоун» проводит проверку домашней работы.

 

Дано изображение куба: вариант 1 — рис. 151, вариант 2 — рис. 152.

 

 

Пользуясь изображением, запишите:

1) плоскость, которая проходит через точку М прямой AM и перпендикулярна к ней; (2 балла)

2) прямую, которая перпендикулярна к плоскости АВС и проходит через точку D; (2 балла)

3) прямую, которая перпендикулярна к плоскости АВС и проходит через точку N; (2 балла)

4) плоскость, которая перпендикулярна к прямой BD; (2 балла)

5) прямые, перпендикулярные к плоскости АМС; (2 балла)

6) плоскости, которые перпендикулярны к прямой DC. (2 балла)

Ответ.

Вариант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (АСМ); 5) BD и KN; 6) (ADK) и (BCL).

Вариант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) и (ADM).

 

 

 

Ученики отвечают на вопросы учителя. карточки
20 мин. III. Актуализация знаний. Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

 

2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны

 

Теорема 1.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.

Доведение

Пусть а1 || а2 и a1 α. Докажем, что α а2 (рис. 153). Точки А1 и А2 — точки пересечения а1 и а2 с плоскостью α.

В плоскости α через точку А2 проведем произвольную прямую х2, а через точку А1 — прямую х1 такое, что х1 || х2. Поскольку a1 || a2, x1 || x2 и а1 х1, то по теореме 3.1 а2 х2. Поскольку х2 выбрана произвольно в плоскости α, то а2 α.

Теорема 2.

Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то данные прямые параллельны.

Доведение

Пусть a α, b α. Докажем, что а || b (рис. 154). Предположим, что а b. Тогда через точку С прямой b проведем b1 , параллельную а. А поскольку α, то и b1 α по доказанной теореме, а по условию b α. Если точки А и В — точки пересечения прямых b1 и b с плоскостью α, то из предположения следует, что в треугольнике  A =  В = 90°, что не может быть. Следовательно, а || b.

 Решение задачи для группы

1 группа:. Определите вид четырехугольника AA1B1B если:

а) АА1 α; АА1 || ВВ1; А α, В α; AA1 ≠ ВВ1 (рис. 155);

б) АА1 α; ВВ1 α;  α, В α (рис. 156);

в)  α;  α; АА1 α; ВВ1 α; АА1 = ВВ1 (рис. 156).

2 группа. Пусть ABCD — прямоугольник, BS АВ, AM АВ (рис. 159). Как расположены плоскости AMD и BSC?

 

3 группа:. В1 β; АА1 α, АА1 β; BВ1 || АА1; АА1 = 12 cm, A1B = 13 см (рис. 160). Найти АВ.

 

4 группа. А1 α; В1 α, А2 β, 2 β, AA1 α; α || β (рис. 161). Определите вид треугольников AA1B1 и АА2В2

 

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ассоциативная карта» проводит закрепление урока.

Составляют ассоциативную карту.

 

 

Перпендикулярность прямой и плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»
Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.
Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Дерево Блоба

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                       Класс: 10    30 урок
Тема:   Перпендикуляр и наклонная
Цель урока:

ввести понятие расстояния от точки до плоскости, наклонной и проекции; рассмотреть свойства наклонных; показать применение этих свойств при решении задачи

Ожидаемый результат: способствовать формированию ключевых компетенций, а также активизации творческой деятельности учащихся;
Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель. С помощью пазлов класс делится на группы. пазлы

 

5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью приема «Эврика» осуществляет повторение пройденного материала.

 

Теоретический опрос (диктант :      -да, __ -нет ) по вариантам:

1) 1в. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°.

2в.  Скрещивающиеся прямые не могут образовывать угол 900

2)  1в. Верно ли утверждение: «Если к плоскости провести несколько перпендикулярных прямых, то они все будут параллельны между собой. »

2в. Верно ли утверждение: «Прямая перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости»

3)  1в.  Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, являются скрещивающимися между собой.

2в.   Через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести множество прямых, перпендикулярных этой плоскости.

4)     1в.   Две пересекающиеся прямые не могут быть перпендикулярны одной плоскости.

2в.   В модели куба ребро СС1 перпендикулярно АВД

5)     1в. В кубе угол между ребрами АА1 и ВВ1 равен 900

2в. Чтобы доказать перпендикулярность прямой плоскости, достаточно доказать ее перпендикулярность только одной прямой, принадлежащей этой плоскости.

Ученики демонстрируя свои знания, заполняют перфокарты. перфокарты
20 мин. III. Актуализация знаний.

С помощьюметода «Подумать-сговориться-обсудить» осуществляет усвоение нового материала.Предлагает ученикам «Графический тест».

Задание для группы

А сейчас, решение практической  задачи. Перед вами блюдо для подачи шашлыков. Верхнее его основание подвижно, т.к. длина шампуров может быть различной.

На какой высоте необходимо закрепить верхнее основание от дна блюда, чтобы вставить шампуры. Если рабочая длина шампура 25 см. Расстояние от оси блюда до нижнего отверстия, в которое вставляется шампур 25см. А расстояние от оси до верхнего отверстия – 10 см. Глубина блюда равна 3 см.

Обсудив задачу обучающиеся работают в парах и записывают решение.

Решение: ВС = ОС – ОВ = 25 – 10 = 15 по т. Пифагора найдём АВ2 = АС2 – ВС2  = 252 – 152 = 625 – 225 = 400, АВ = 20 см. поэтому  Н = 20 + 3 = 23 см. – на такой высоте нужно закрепить верхнее основание блюда.

– Выставьте в лист самооценки по 5 баллов, если вы получили ответ 23 см. 3 балл, если вы получили 20 см. Затем проверка

Самостоятельное задание для группы

1 группа

1.  Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.

2) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6Ö6см. Найти длину этой наклонной.

2 группа

1. Из точки А к данной плоскости a проведены перпендикуляр АВ = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью a угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

2  Из точки А к данной плоскости a проведены перпендикуляр АА1  и две наклонные АВ и АС. СА1= 4,

ÐАВА1 = 30°, ÐАСА1 = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

3 группа

1. Из точки А к данной плоскости a проведены перпендикуляр АА1  и две наклонные АВ и АС, каждая из которых наклонена к плоскости под углом  45°,  угол между наклонными 120°. Расстояние между  основаниями наклонных 12см. Найти расстояние от точки А до плоскости a.

6) Сторона правильного треугольника равна 12см. На расстоянии 1см от плоскости треугольника взята точка, одинаково удалённая от всех его сторон. На каком расстоянии от вершин треугольника находится эта точка?

2  Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см.

Самостоятельно изучают новый материал.

Ученики демонстрируют свои знания. Отвечают на тестовые вопросы. Выполняют упражнения.

 

Учебник

 

Графический тест

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ромашка Блума» проводит закрепление урока.

Устный опрос.

  1. Каким может быть взаимное расположение прямых в пространстве?
  2. Какие две прямые называются  параллельными в пространстве?
  3. Дать определение скрещивающихся прямых.
  4. Дать определение перпендикулярных прямых в пространстве.
  5. Сформулируйте определение прямой перпендикулярной  плоскости.
  6. Сформулируйте свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

Ответы: 1. Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые

2. Две прямые называются параллельными в пространстве, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются

3. Скрещивающиеся – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

4. Перпендикулярные прямые – это прямые, угол между которыми равен 900.

5. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

6. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Если две прямые перпендикулярны к  плоскости, то они параллельны между собой.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Ромашка Блума
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»

Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                       Класс: 10   31 урок
Тема:   Перпендикуляр и наклонная
Цель урока:

Сформировать  понятия перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной, расстояния от точки до плоскости;

рассмотреть свойства наклонных и их проекций;

рассмотреть связь между перпендикуляром, наклонной и проекцией наклонной

  • Ожидаемый результат: развивать творческие способности учащихся.

развивать умение выделять главное; развивать умение обобщать, делать вывод на основе сравнения

Этапы деятельности Действия преподавателя Действия обучающихся

 

 

I.    Организационный момент.

Преподаватель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку.

Кто у нас отсутствует?

Обучающиеся приветствуют преподавателя. Староста говорит кто отсутствует.
II.  Актуализация опорных знаний Прежде чем приступить к изучению новой темы, предлагаю повторить ранее изученный материал.  

 

   Устный опрос: Мы воспользуемся вашими презентациями, которые выполняли в рамках самостоятельной работы, Рома и Марина. ИТАК,

ПО РИСУНКУ ПОКАЖИТЕ:

1.       Каким может быть взаимное расположение прямых в пространстве?

2.       Какие две прямые называются  параллельными в пространстве?

3.       Дать определение скрещивающихся прямых.

4.       Дать определение перпендикулярных прямых в пространстве.

5.       Сформулируйте определение прямой перпендикулярной  плоскости.

6.                 Сформулируйте свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

 

 

Заполнить оценочные листы, тем, кто отвечал на вопросы: по одному баллу за каждый правильный ответ.

А сейчас запишите число в тетрадях и самостоятельная работа. (4 мин)

1.      Укажите по рисунку:

1)Прямые перпендикулярные плоскости АА1В1В;

2) плоскости,  перпендикулярные ребру ВС.

3) Каково взаимное расположение прямых АC и В1D1 ;

А теперь выполним взаимопроверку. И поставьте друг другу то количество баллов, которое заработали. По 2 балла за правильный ответ

Заполнить оценочные листы.

 

 

Обучающиеся отвечают на вопросы,

 

 

1.      Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые

2.      Две прямые называются параллельными в пространстве, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются

3.      Скрещивающиеся- это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

4.      Перпендикулярные прямые – это прямые, угол между которыми равен 900.

5.      Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

6.      Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Если две прямые перпендикулярны к  плоскости, то они параллельны между собой.

Обучающиеся сверяют работу товарища с правильным ответом на слайде.

Выставляют баллы.

III.  Создание проблемной ситуации Посмотрите на рисунок и скажите, какой отрезок можно считать за расстояние от фонаря до поверхности Земли? Ведь здесь показано несколько отрезков. Какой возьмём мы , чтобы определить расстояние?

Этот отрезок называется перпендикуляром. Если этот отрезок – перпендикуляр, то как мы назовём другой отрезок?

Возможный ответ: наикратчайшее расстояние. Отрезок, перпендикулярный  плоскости.

Наклонная

IV.   Постановка учебной цели Поэтому, как вы думаете, как будет называться   тема сегодняшнего урока?

А сейчас запишите тему урока: преподаватель проговаривает тему урока: «Перпендикуляр и наклонная». А скажите, исходя из темы урока, какова цель сегодняшнего занятия?

Итак, цель нашего урока – познакомиться, что такое перпендикуляр, наклонная.

Обучающиеся отвечают: « Перпендикуляр и наклонная»

 

Узнать, что такое перпендикуляр, наклонная, другие понятия. Научиться применять эти знания при решении задач.

V.  Реализация учебной цели 1.      Если перевести наш рисунок на математический язык, то какая фигура у нас получится?  Сделайте рисунок у себя в тетради. Подпишите уже известные отрезки.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР, НАКЛОННАЯ, а как называется р третий отрезок?

2.       А сейчас, используя учебник и полученные знания, составить  опорный конспект,найти и написать определения указанным отрезкам. Дать названия точкам  и продолжить предложение:

 расстояние между точкой и плоскостью ..(4 мин)

1.      Как называются стороны в прямоугольном теугольнике?

2.      Мы знаем, что меньше в треугольнике: катет или гипотенуза? Поэтому перпендикуляр будет меньше или больше наклонной…

Прямоугольный треугольник

 

 

Проекция наклонной

 

 

 

Обучающиеся самостоятельно работают и составляют опорный конспект, записывают в тетрадь Катеты и гипотенуза.

 

Меньше наклонной

 

VI.        Применение

изученного материала

 

Где в нашей жизни можно встретить изученные нами сегодня понятия? Показ фотографий.

Каким следующий будет этап нашей работы?

ЗАДАЧА № 1.     Из точки А проведены две наклонные на плоскость α   длиной 10 см и 17см,  одна из проекций равна 15 см. Найдите вторую проекцию  на данную плоскость

Обучающиеся приводят примеры.

 

научиться применять изученный материал при решении задач

1 Обучающийся выходит к доске и решает задачу №1.

 

Применение

изученного материала

 

1.       А сейчас, решение практической  задачи. Перед вами блюдо для подачи шашлыков. Верхнее его основание подвижно, т.к. длина шампуров может быть различной. На какой высоте необходимо закрепить верхнее основание от дна блюда, чтобы вставить шампуры. Если рабочая длина шампура 25 см. Расстояние от оси блюда до нижнего отверстия, в которое вставляется шампур 25см. А расстояние от оси до верхнего отверстия – 10 см. Глубина блюда равна 3 см.

2.        Работаем в парах. Выставьте в лист самооценки по 5 баллов, если вы получили ответ 23 см. 3 балл, если вы получили 20 см.

3.        Затем проверка

Кто получил ответ 20см – тот ставит 3 балла, а кто получил 23см –тот ставит 5 баллов

 

 

Обсудив задачу обучающиеся работают в парах и записывают решение.

Решение : ВС= ОС – ОВ= 25 – 10 =15 по т. Пифагора найдём

АВ2 = АС2 – ВС2  = 252 – 152 = 625 – 225 = 400,

АВ = 20см. поэтому  Н = 20 + 3 = 23 см.- на такой высоте нужно закрепить верхнее основание блюда.

VII.     Подведение итогов •      ИТАК, Что мы сегодня изучили?

•      Что такое перпендикуляр и наклонная к плоскости?

•      Что короче- перпендикуляр или наклонная.

•      Поэтому за расстояние мы берём …

Обучающиеся отвечают.

 

 

перпендикуляр

 

Длину перпендикуляра.

VIII.       Задание на дом •         1. Конспект в тетради ;

•         По готовому чертежу найти Х ;

•         С (повышенный уровень)

•      А теперь подведём итоги : Подсчитайте своё количество баллов и выставьте оценку.

Если вы набрали:    13б – «5»

11 -12б. –«4»

7б – 9б.  — «3»

Обучающиеся записывают домашнее задание
IX.             Организация рефлексии Продолжить предложения,

“Я узнал(а) много нового.”

“Мне это пригодится в жизни.”

“на уроке было над чем подумать.”

“На все вопросы, возникающие в ходе урока, я получил(а) ответы.”

“На уроке я работал(а) добросовестно и цели урока достигла.”

Поднимите руки, кто поставил 5 плюсов, а затем те , кто поставил 4 и три плюса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                    Класс:10                        урок 32
Тема:   Теорема о трех перпендикулярах
Цель урока: Закрепить изученный теоретический материал на практике, обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах;

Сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численное (буквенное) значение, какого – либо элемента;

Ожидаемый результат: Учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.
Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель. С помощью пазлов класс делится на группы. пазлы

 

5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью приема «Эврика» осуществляет повторение пройденного материала.

Вопросы:

1.      Угол между прямыми  равен 90º. Как называются такие прямые?

/перпендикулярные/

2.      Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?

/да/

3.      Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

/Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости./

4.      Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

/как длина перпендикуляра, поведенного из точки к данной прямой./

5.

Р.
К
D
α

По рисунку 1 назовите: перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную к плоскости α, основание наклонной, проекцию наклонной на плоскость α.

 

 

 

 

 

/

PD- перпендикуляр, точка D- основание перпендикуляра,PK- наклонная, точка  K – основание наклонной, KD – проекция./

Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

 

 

Ученики демонстрируя свои знания, заполняют перфокарты. перфокарты
20 мин. III. Актуализация знаний.

С помощьюметода «Подумать-сговориться-обсудить» осуществляет усвоение нового материала.Предлагает ученикам «Графический тест».

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

 

Если прямая на плоскости                         перпендикулярна    наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

 

 

 

 

Из вершины B к плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр BS и наклонные SA, SC и SD.

Назови все прямоугольные треугольники с вершиной S, обоснуй свой ответ.

 

 

ABCD квадрат, все углы которого равны по 900 градусов.

 

1. Грань ASB — прямоугольный треугольник,

2. Грань BSC — прямоугольный треугольник,

т.к. BS — перпендикуляр к плоскости.

4. Грань ASD — прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах:

 

AD⊥AB,т.к.ABCD− квадратSB⊥AB,т.к.перпендикуляр}⇒AD⊥SA

значит, ∢SAD=900

Задание для  группы

 

1 группа

Дано:  BD ┴ (ABC), BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.

Найти: а) расстояние от точки D до АС; б) S .

D
C
K
A
B

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 1. DB – перпендикуляр, АС и DA – наклонные, так как ВА = ВС – проекции, то DA=DC.

2. равнобедренный, DK – высота, медиана и биссектриса, DK – расстояние от точки D до АС.

3. , , ВК = , ВК =  =  = 12 (см).

4. DBK, , DK = , DK =  =  = 15 (см).

б) S  = ·AC·DK, S  =  ·10·15= 75 (см2).

Ответ: 15 см, 75 см2.

2 группа

Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ перпендикулярно к его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см;

< ВАD = 60º; ВМ = 12,5 см.

М
В
Е
А
К
С
D
α

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем ВК ┴ AD.  ВК – проекция наклонной МК на плоскость ромба; AD  ┴ ВК, то AD  ┴ МК (по теореме о трех перпендикулярах). Длина МК – расстояние от точки М до прямой AD . МЕ – расстояние от точки М до прямой DC.

Из треугольника АВК: ВК = АВsin60º =  .

МВК – прямоугольный (  = 90º), так как МВ ┴ (АВС); МК =  = 25 (см).

ВК = ВЕ (как высоты ромба);  (по двум катетам, как прямоугольные); МЕ = МК = 25 (см).

Расстояние от точки М до прямых АВ и ВС равны длине перпендикуляра МВ, то есть 12,5 см.

Ответ: 25 см; 25 см; 12,5 см; 12,5 см.

3 группа

Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого  угла CBD. Докажите, что  если

, причем ,то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса < CBD.

Решение:

В
К
А
D
Е
М
С

 

 

 

 

 

 

 

1). Пусть АЕ ┴ (CBD). В плоскости (АВС) проведем перпендикуляр АМ к прямой ВС, а в  плоскости (АВD) перпендикуляр АК к прямой BD.

Так как ,то точка М лежит на луче ВС (а не на продолжении этого луча). Аналогично, так как <ABD < 90°, то точка  К  лежит на луче BD. Так как ВС ┴ АМ, то ВС┴ ЕМ (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах).

Аналогично доказывается, что BD ┴ ЕК.

2).  =  по гипотенузе (АВ – общая сторона) и острому углу (<АВС = <ABD), то ВМ = ВК;

3). по гипотенузе (ВЕ – общая сторона) и катету (ВМ = ВК), то ЕМ = ЕК;

4). Точка Е равноудалена от сторон <СВD, значит, она лежит на биссектрисе этого угла, то есть луч ВЕ – биссектриса D.

Вопросы по теме

1.                       Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости параллельны)?

2.                       Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?

3.                       Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?

4.                       Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

5.                       Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей, параллельны)?

6.                       Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой (прямая а и плоскость α, перпендикулярные к одной прямой с)?

7.           Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

 

 

 

 

 

Учебник

 

Графический тест

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ромашка Блума» проводит закрепление урока.

 

I группа.

Дано: , АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана.

Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС).

А
М
В
С
S

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

1)                       Прямая SM, М – середина гипотенузы АВ, перпендикулярна к плоскости (АВС) SM ┴ (АВС).

2)                       SM =  =  =  =5  (см).

3)            Ответ: 5  (см).

II группа

Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см.

Найти:  расстояние от точки К до (АВС).

К
А
В
D
С

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.                       Длина АК – расстояние от К до (АВС) по определению.

2.                       Так как DC ┴ AD, AD проекция KD, то по ТТП KD┴DC, значит, в KDC  . KC2 = KD2 + DC2, DC =  =  = 3  (см).

3.                       СВ┴КВ по ТТП; СВ = ; СВ = 4  (см).

4.            Из ADC <D = 90º, AC = , AC =   (см).

5.            ИЗ КСА < A = 90º, KA = , KA =2 (см).

Ответ: 2 см.

III группа.

Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС), <А – меньший,

АМ = 20 см.

Найти: МЕ.

Решение:

 

М
А
В
С
Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.В АВС против меньшей стороны лежит меньший угол (по теореме синусов). Проведем АЕ ┴ ВС, АЕ ┴ МЕ. По теореме о трех перпендикулярах МЕ ┴ ВС.

2. По формуле Герона:

S  = ,  S  = BC·AE.

P =  = 20, S  =  = 60.

AE = 15 (см).

По теореме Пифагора: МЕ = , МЕ = 25 (см).

Ответ: 25 см.

 

Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Ромашка Блума
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»

Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

класс: 10

Тема урока:Теорема о трех перпендикулярах;  33 урок

Цели  урока:

Образовательные: доказать теорему о трех перпендикулярах и  обратную ей теорему; показать применение теорем  при решении задач; обеспечить восприятие нового материала при помощи презентации  и модели;

Развивающие:   способствовать формированию  ключевых компетенций и активизация

Предметные результаты:

Знать:

— теорему о трех перпендикулярах;

— теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах;

Уметь:

-находить эти три перпендикуляра

— применять, полученные знания при решении задач;

 

Этап урока Действия учителя Действия учащегося Используемый ресурс (ссылки, скриншоты)
1.Организационный Приветствует учеников, предлагает приготовиться к уроку.

 

 

 

 

Приветствуют учителя, готовятся к уроку.
2. Актуализация знаний Предлагает решить задачу. Дано: AD┴(ABC), AB=5 AC=4, CB=3 AD=6

Найдите DC  и

DB

Определите вид ΔABC и ΔDBC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помогает сделать вывод: AC┴CB, CB прямая, проходящая, через основание наклонной и вы доказали , что DC┴CB

 

Проверим это утверждение при помощи конструкции.

 

Возьмем прямоугольный треугольник ABC, проведем через вершину A – перпендикуляр  AD, соединим точку D, c вершинами B и С. Рассмотрите какой получился ΔDCB?

Что вы можете сказать о AD, DC, AC и CB?

Какое утверждение вы доказали? Это утверждение получило название теоремы о трех перпендикулярах.

 

 

Решают задачу: AD-перпендикуляр к плоскости, DC- наклонная, AC- проекция этой наклонной на плоскость (ABC). ΔADC-прямоугольный по т. Пифагора DC=

Аналогично находят, что AD-перпендикуляр к плоскости, DB- наклонная, AB- проекция этой наклонной на плоскость (ABC). DB=

Применяют теорему, обратную теореме Пифагора и определяют, что ΔABC и ΔDBC- прямоугольные.

 

 

 

 

 

 

Учащиеся делают модель из прямоугольного треугольника (основание), деревянных палочек и пластилина и отвечают на вопросы учителя

 

 

 

 

слайд 2

 

3.Изучение нового материала

 

Учитель формулирует теорему о трех перпендикулярах и доказывает ее вместе с учащимися.

 

Сформулируйте обратную теорему докажите ее (№153)

Учащиеся

вместе с учителем доказывают теорему и конспектируют доказательство в тетради

 

 

Учащееся доказывают обратную теорему

 

 

 

 

 

Слайд 4, 5

 

слайд 6

 

 

 

 

4. Закрепление изученного

 

 Решение задач Решают задачи  

 

5. Подведение итогов урока Назовите мне три перпендикуляра в пространстве, которые мы сегодня изучили? И какая между ними существует связь?

 

отвечают на вопрос учителя.формулируют выводы
6.Домашнее задание. 1. найти другие способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах

2. Задачи 1-6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема Теорема о трех перпендикулярах          урок 34
Цель Умение сконцентрировать своё внимание.

Формулируют свой ответ, строят монологические высказывания, прислушиваются к мнению других.

 

ЭТАП

 

Деятельность

учителя

Деятельность

учащихся

 

 

1.Организа-ционный  этап.

Приветствие, проверка готовности учащихся и кабинета к уроку.

Организация внимания школьников, мотивация учения.

 

 

 

Проверяют готовность рабочего места к уроку.

 

2.Актуализация знаний.

 

 

 

Сначала целесообразно вспомнить, то что мы с вами учили. ( РАБОТА ПО ЧЕРТЕЖУ)

 

Дайте определение перпендикуляра к плоскости, основания перпендикуляра, расстояние от точки до плоскости, наклонной, основания наклонной, проекции наклонной.

 

 

 

Ответы на вопросы учителя

 

 

3.Этап повторения изученного материала.

 

 

 

1. Угол между прямыми равен 90°. Как называются такие прямые? (перпендикулярные.)

2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?» (да.)

3. Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она…» (перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости).

4. Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости? (Они параллельны.)

5. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, … (параллельны)

6. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? (Возможный ответ: как кратчайшее расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой)

7. Вспомним, как называются отрезки

АМ- ? АН- ? Точка М?  Точка – Н ?

8. А как же определить расстояние от точки до плоскости?

 

Задача.

АА1 – перпендикуляр к плоскости

АВ – наклонная. Найти х.

 

 

Раскрытие и определение цели урока, выбор плана урока.

 

1.      Подведение к формулированию темы. Проблемный вопрос.

 

— Сформулируйте тему нашего урока.

 

 

 

— Каковы задачи нашего урока? Чему вы должны научиться?

 

 

 

 

Ответы письменно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тестирование с самопроверкой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Называют тему урока.

« Теорема о трёх перпендикулярах ».

 

4.Этап  изучения нового материала. : 1) доказать теорему о трёх перпендикулярах;

2) научить применять её при решении задач.

Работа с чертежом на презентации.

 

 

Ответы учеников.

5. Этап проверки усвоения первичного материала. 1) Решение задачи № ___, решается с помощью презентации.

Или. Рассмотрим треугольники AOS , BOS, COS . Они равны по двум катетам. Следовательно, AS=BS= CS

2) Задания по группам, из сборников для подготовки к ЕНТ

Организую работу с заданиями по ЕНТ. Контролирую ход рассуждений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Классифицируют задания, выбирают те, которые решаются с помощью изученной темы..

6.Этап подведения итогов урока. Ребята, наш урок подходит к концу.

— Тема нашего урока?

— Скажите, что нового узнали на уроке?

— Чему научились?

 

Называют тему урока,.

Перпендикуляр, наклонная, прекция.

7.Этап рефлексии. Где вам пригодится знание этой теоремы ( в ЕГЭ).

Приводим пример про Пизанскую башню, проводим опыт с наклонной свечкой.

Я желаю вам хорошо поработать дома по этой теме, чтобы знания новой теоремы пригодились вам при сдаче ЕГЭ.

 

Д/з: ______

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                                Класс: 10   урок 35-36
Тема:   Расстояния между прямыми и плоскостями
Цель урока: Образовательные: вспомнить и систематизировать те знания, которые ученики уже имеют по данной теме; активизировать работу по применению этих знаний для нахождения расстояний между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде.

Развивающие: формировать пространственное воображение, развивать логическое мышление, умение распознавать на чертежах пространственные формы; проводить доказательные рассуждения, делать выводы, используя необходимые теоремы и свойства фигур на плоскости и в пространстве.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель. С помощью пазлов класс делится на группы. пазлы

 

5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью приема «Эврика» осуществляет повторение пройденного материала. Ученики демонстрируя свои знания, заполняют перфокарты. перфокарты
20 мин. III. Актуализация знаний.

С помощьюметода «Подумать-сговориться-обсудить» осуществляет усвоение нового материала.Предлагает ученикам «Графический тест».

Работа по учебнику

 

 

Расстояние от точки до прямой
Расстоянием от точки до прямой

в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую

A
a

 

H

 

Расстояние от точки до плоскости
Расстоянием от точки до плоскости

в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость

A
α
H

 

Расстояние между параллельными прямыми
Расстоянием между двумя непересекающимися прямыми

в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым

H
A
a

 

b

 

 

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью

называется расстояние от произвольной точки данной прямой до данной плоскость

A
α
a

 

H

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми

называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой

A
α
a

 

H
b

 

 

Расстояние между параллельными плоскостями
Расстоянием между параллельными плоскостями

называется расстояние от произвольной точки одной из данных плоскостей до другой плоскости

A
α
H
ß

 

Задание для группы

 

1 группа

A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
В единичном кубе AD1 найдите расстояние от точки B до плоскости ADD1.
Ответ: 1.

 

В единичном кубе AD1 найдите расстояние между прямой CC1 и плоскостью ADD1.
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
Ответ: 1.

2 группа

В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между плоскостями BCC1 и ADD1.
Ответ: 4.
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
4
6

 

В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между прямыми BC и B1C1.
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
4
6
Ответ: 8.

 

3 группа

A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
4
6
В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между прямыми  AA1 и BC.
Ответ: 4.

 

В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между прямыми  AB и CD1 .
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
4
6
Ответ: 6.

 

 

Ответ: 10.
В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние от точки D1 до прямой AB.
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
6
4
По теореме о трех перпенди- кулярах
По теореме Пифагора из ∆ADD1:

 

 

 

Самостоятельно изучают новый материал.

Ученики демонстрируют свои знания. Отвечают на тестовые вопросы. Выполняют упражнения.

 

Учебник

 

Графический тест

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ромашка Блума» проводит закрепление урока.

Самостоятельное работа

1 группа

Найдите расстояние между параллельными прямой   и плоскостью

 

Очевидно, точка   лежит на прямой, которую определяютканонические уравнения прямой в пространстве  .

Получим нормальное уравнение плоскости  . Для этого приведем заданное общее уравнение плоскости к нормальному виду: вычисляем нормирующий множитель  , умножаем на него обе части заданного общего уравнения плоскости  .

Осталось вычислить требуемое расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью как расстояние от точки   до плоскости  :

 

2 группа

Найдите расстояние между прямой   и параллельной ей плоскостью  .

 

В рассматриваемой задаче прямая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Найдем координаты   некоторой точки М1, лежащей на этой прямой. Координаты точки М1 должны удовлетворять уравнениям прямой, то есть,   — частное решение системы линейных уравнений  . Найдем частное решение этой системы (при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Приняв  , приходим к системе уравнений  , откуда находим  . То есть, имеем  .

Теперь получим нормальное уравнение плоскости, которую задает уравнение плоскости в отрезках вида  . Для этого переходим к общему уравнению плоскости  . Полученное общее уравнение плоскости уже является нормальным уравнением плоскости и его не нужно приводить к нормальному виду.

Осталось вычислить расстояние от точки   до плоскости  , которое равно искомому расстоянию между параллельными прямой и плоскостью:

 

Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Ромашка Блума
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»

Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:

Класс: 10      37   урок

Тема: Контрольная работа №

 

Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;

.

 

Деятельность учителя

 

Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».

 

Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников. мяч
35 мин. III. Актуализация знаний.  Постановка цели урока.

.

Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин. V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.

 

Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями. светофор

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                    Класс:10   урок 38
Тема Угол между прямой и плоскостью
Цель урока: продолжить формирование умений находить  угол между прямой и плоскостью;

продолжить формирование умений обосновывать или опровергать выдвигаемые предположения;

Ожидаемый результат: развивать пространственное мышление, самостоятельность и умение преодолевать трудности в учении;
Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель. С помощью пазлов класс делится на группы. пазлы

 

5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью приема «Эврика» осуществляет повторение пройденного материала.

Ученики демонстрируя свои знания, заполняют перфокарты.

Перфокарты

Устные упражнения:

Задача 1.В треугольнике АВС катеты равны 16 и 12 см. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

;

см.

Задача 2.В треугольнике АВС длина ВС рана 2 см, а длина гипотенузы АВ – 4 см. Определите градусные меры углов В и А.

Решение: Так как гипотенуза в два раза длиннее катета, то угол А равен 30 градусов, а угол В 60 градусов.

Задача 3.Длина катета b треугольника АВС равна 6, а катета а — 6√𝟑 см. Вычислите тангенс угла А.

Решение:

 

 

Задача 4.Медианна правильного треугольника АВС  равна 33 см. Найдите длину отрезка АО.Чем является этот отрезок для треугольника АВС?

Отрезок АО является радиусом описанной окружности.

Длина этого отрезка равна

. ой и плоскостью.

 

Вопрос 1. Как можно вычислить радиус окружности, описанной около правильного треугольника? Предложите несколько способов нахождения. Ответ: . В формулах АВ длина стороны треугольника, ОС – радиус.

 

Для дальнейшей работы повторим основные понятия, которые необходимы для определения угла между прямой и плоскостью.

 

 

Задача 5.Из точки А к плоскости проведен перпендикуляр АН и наклонная АМ длиной 17 см. Длина ее проекции МН на эту плоскость 8 см. Вычислите синус и косинус угла между наклонной и ее проекцией.

Решение:

По теореме Пифагора длина перпендикуляра 15 см. Косинус угла .

 

20 мин. III. Актуализация знаний.

С помощьюметода «Подумать-сговориться-обсудить» осуществляет усвоение нового материала.Предлагает ученикам «Графический тест».

Работа по учебнику

 

 

 

 

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называют  угол между прямой и её проекцией на плоскость .

При решении задач углом между прямой и плоскостью будет служить угол между наклонной и её проекцией. Наибольшее затруднение при построении такого угла вызывает построение перпендикуляра от точки до плоскости. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Задание для группы

Задача 1.В кубе A…D1 найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC.

Решение: Ребро АА1перпендикулярно плоскости АВС, поэтому искомый угол равен 90 градусов.

Задача 7. В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BCC1.

Из равнобедренного треугольника АВВ1угол АВ1В равен 45 градусов.

 

Задача 2. Задача решается по вариантам: 1-а, 2-б, 3-в. Решение комментируется представителем студента решавшего задание варианта.

Задача 3 .Каждое боковое ребро тетраэдра равно 4 см и образует с плоскостью основания угол равный 30 градусам.  Вычислите расстояние от вершины А тетраэдра до плоскости основания и длину ребра  его основания.

Решение: Опустим из вершины тетраэдра А на плоскость ВСД перпендикуляр АН. Треугольники АВН, АСН, АДН равны по гипотенузе и острому углу, следовательно ВН=СН=ДН=R. АН=2(свойство прямоугольного треугольника), по теореме Пифагора ВН=2

R=2 ВС=2

Понятие угла между прямой и плоскостью довольно часто приходится использовать при решении задач практического содержания. На слайдах вы можете видеть некоторые из них. Предлагаю вам решить по одной задаче, объединившись для работы в группы. Решение задач старший группы представит для проверки вместе с оценкой степени вложения каждого представителя группы при решении задачи.

 

Подведем итог занятия. Какие основные понятия были повторены в течении урока? Ответы студентов.

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ромашка Блума» проводит закрепление урока.

1.      В какой точке прямая пересекает плоскость?

2.      Какая точка прямой не лежит в плоскости?

3.      Какая точка является проекцией данной точки на плоскость?

4.      Соедините эти  точки. Полученная прямая — проекция прямой на плоскость.

5.      Выделите цветом полученный  угол.

Как построить угол между прямой и плоскостью?
Чему равен угол между прямой а и плоскостью a, если а^a,?
Чему равен угол между прямой а и плоскостью a, если аïïa,?

 

Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Ромашка Блума
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»

Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                               Класс: 10    урок 39-40
Тема:  Угол между двумя плоскостями. Двугранный угол.
Цель урока:

Образовательные: Знакомство с понятием двугранного угла и его линейного угла, обучение построению линейного угла данного двугранного угла. путем поисковой, исследовательской деятельности, показать перспективы ее использования при решении задач практического содержания, использовать материалы из истории развития числа π.

Развивающие: Развитие навыков построения перпендикуляра к плоскости, формирование конструктивного навыка нахождения угла между плоскостями, применение ТТП, развитие памяти, логического мышления, любознательности; развитие умений искать ответы на возникающие вопросы.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Рисунок на спине». Ученики осмысливают поставленную цель. Рисуют рисунки. Бумага А4
5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью метода «КСО» осуществляет проверку домашней  работы. Ученики демонстрируют свои знания, задают друг другу вопросы.
20 мин. III. Осмысление новой информации.

С помощью метода «Подумать – сговориться — обсудить» осуществляет усвоение нового материала.

Проводит игру «Хочу спросить»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание для группы

 

1 группа: . Дана правильная четырехугольная пирамида   с ребром основания   см и высотой   см. Найти величину двугранного угла между гранями   и  .

Решение. Проведем из точки   перпендикуляр   к ребру   (рис. 5). Тогда по теореме о трех перпендикулярах  . Следовательно,   — линейный угол двугранного угла пирамиды с ребром  . Из прямоугольного треугольника   находим  . Отсюда  .

Вопрос. Какую величину в рассмотренном примере имеет угол между гранями SAB и SCD?

 

 

2 группа . В прямоугольном параллелепипеде   заданы ребра  ,   и   (см). Найдем угол между плоскостями   и  .

Решение. Заметим, что двугранные углы  ,  ,   вместе составляют развернутый угол, поэтому их сумма равна  .

Для вычисления величины угла   проведем   (рис.13). Тогда по теореме о трех перпендикулярах A1H ^ BD. Следовательно, угол ÐAHA1~— линейный для двугранного угла ABDA1. Пусть ÐADB=a. Тогда  ,  ,  . Отсюда   После этого из прямоугольного треугольника AA1H находим  .

Аналогично получается, что величина двугранного угла   также равна  . Поэтому угол   между плоскостями  и   равен либо  , если   меньше  , либо  . Так как

то  .

Из приведенного решения следует, что ответ можно записать либо как  , либо как  .

Вопрос. Как в рассмотренном примере изобразить линейный угол двугранного угла  ?

 

3 группа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ученики демонстрируют свои знания. Проводят игру «Хочу спросить». Ученики задают вопросы, читать текст.  

Учебник

 

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ромашка Блума» проводит закрепление урока. Предлагает ученикам тестовые вопросы.

 

 

Учащиеся отвечают на  разноуровневые вопросы. Работают с тестовыми вопросами. Тестовые вопросы
5 мин. V. Итог урока. Вы сегодня многое узнали о спряжении глаголов. Каждый воспринял новую информацию по-своему. Давайте, напишем телеграмму своим одноклассникам. (По стратегии «Телеграмма») Ученики пишут телеграммы своим одноклассникам. Оценивают свои работы.

 

 

стикеры

 

фишки

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения д/работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                            Класс: 10   урок 41-42
Тема:  Признак перпендикулярности двух плоскостей
Цель урока: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.

развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания псих-кой атмосферы проводит игру «Путаница». Ученики осмысливают поставленную цель.
5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью метода «Броуновское движение» осуществляет проверку домашней  работы. Ученики демонстрируют свои знания.
20 мин. III. Осмысление новой информации.

Признак перпендикулярности плоскостей.

 

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0° < φ ≤ 90° (рис. 1).

: Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) (рис. 2).

Учитель:Приведите примеры взаимно перпендикулярных плоскостей.

Ученики: Плоскости стены и пола, стены и потолка комнаты.

Учитель: Ясно, что в этих случаях каждый из четырех двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями, прямой (рис. 2).Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема:Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3).Доказать: α ⊥ β.

 

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD — линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β. Запишите теорему и её доказательство в тетради и сделайте чертёж.

Теорема:Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3).Доказать: α ⊥ β.

 

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD — линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β.

 

 

Задание для группы

1 группа

Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABCравен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4).Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α. Тогда КС — проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС. Отсюда следует, что ∠ВСК — линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника ,∠ВСК = 60°. Из ΔВСА по теореме Пифагора:

Из ΔВКС:

Ответ: 6√3 см.

2 группа

Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС Îα, угол между плоскостями α и ABCравен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4).Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ αÞКС — проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС Þ∠ВСК — линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника ,∠ВСК = 60°.

Из ΔВСА:

Из ΔВКС:

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока.

 

Закрепление изученного материала:

 

Учащиеся отвечают на  разноуровневые вопросы.
5 мин. V. Итог урока.

— О чём вы сегодня узнали на уроке?
— Изменилось ли ваше отношение к волкам?
— Было ли вам комфортно на уроке?

Ученики пишут телеграммы своим одноклассникам. Оценивают свои работы.

 

 

стикеры

 

фишки

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения д/работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

Отрицательные стороны урока:_____________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                              Класс: 10   урок 43
Тема:  Решение задачи
Цель урока: сформировать навык применения признака перпендикулярности прямой и плоскости к решению задач.

умение видеть геометрические задачи в окружающем мире.

развивать пространственное воображение, логическое мышление;

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель.
5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью метода «Броуновское движение» осуществляет проверку домашней  работы.

 

Фронтальный опрос

1. Можно ли утверждать, что прямая, проходящая через центр круга перпендикулярна:

а) диаметру; нет;

б) двум радиусам; нет;

в) двум диаметрам, перпендикулярна плоскости круга? да.

2. Можно ли утверждать, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости:

а) двум сторонам треугольника;

б) двум сторонам квадрата;

в) диагоналям параллелограмма.

Работа в парах по карточке

3. Дано ABCD – куб. Заполните пропуски о взаимном расположении прямых и плоскостей:

а) СС1…(DCB);

б) АА1…(DCB);

в) D1C1…(DCB);

г) В1С1…(DD1C1);

д) В1С1DC1;

е) А1D1DC1;

ж) ВВ1АС;

з) А1ВВС;

и) А1ВDC1.

4. Три луча ОМ, ON, ОК попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению к плоскости, определяемой двумя другими лучами?

Что моделирует в классной комнате описанную комбинацию?

 

 

Ученики демонстрируют свои знания.
20 мин. III. Осмысление новой информации.
Мозговой штурм.I.                   Решение задач.

Работа в группах

1. Дано: Е (ABCD), ABCD
прямоугольник. ВЕ  АВ, ВЕ ВС.Доказать, что: а) ВЕ CD;
б) CD (ВСЕ).

Найдите SECD, если CD = 6 см,
= 8 см.

2. Дано: ABCD – тетраэдр,
BD ВС, DC АС, АСВ = 90°.Доказать, что АСBD.

Найдите SABD, если AD = 25 см,
АВ = 24 см.

3. Дано: ABCD – тетраэдр.
AD  АС, AD АВ, DC СВ.Доказать, что: а) AD ВС;
б) ВС (ADC).

Найдите SАВС, если ВС = 4 см,
АС = 3 см.

4. Дано: ABCD – тетраэдр.

ADC = BDC,

ABD = DAB.

Найдите (АВ, CD).

Решение

1. Δ ADB – равнобедренный
DK – высота и медиана.

2. Δ ADС = Δ ВDС (по двум сторонам и углу между ними)  АС = CB.

3.

4.

5.

Защита решений группами

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока. Проводят обсуждение по данной теме.
5 мин. V. Итог урока. Рефлексия:
— О чём вы сегодня узнали на уроке?
— Изменилось ли ваше отношение к волкам?
— Было ли вам комфортно на уроке?
Ученики пишут телеграммы своим одноклассникам. Оценивают свои работы.  

стикеры

 

фишки

 2 мин. VI. Домашнее задание. Домашнее задание: подготовить выразительное чтение отрывка текста, нарисовать иллюстрации к рассказу «Волки». Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

 

 

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:

Класс: 10      44   урок

Тема: Контрольная работа №

 

Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;

.

 

Деятельность учителя

 

Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».

 

Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников. мяч
35 мин. III. Актуализация знаний.  Постановка цели урока.

.

Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин. V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.

 

Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями. светофор

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                       Класс: 10   урок 45
Тема:  Контроль знаний по тестовым заданиям
·         Цель урока: закрепить теоретические знания, полученные при изучении темы;

·         развивать пространственное воображение;

·         развивать навыки самостоятельной деятельности.

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания псих-кой атмосферы проводит игру «Путаница». Ученики осмысливают поставленную цель.
5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью метода

«Кластер» провод проверку домашней работы.

Ученики демонстрируют свои знания. Бумага А4
20 мин. III. Осмысление новой информации.

 

 

Тесты. Проверь себя. Выбери правильные ответы.

Найти величину двугранного угла между соседними гранями правильного тетраэдра.

1.

2.

3. 60°

4.

Ответ: 2.

Найти величину двугранного угла между основанием и боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны.

1.

2.

3. 60°

4.

Ответ: 4.

Найти величину двугранного угла между соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны.

1.

2.

3. 60°

4.

Ответ: 1.

Сколько всего плоскостей, составляющих угол 30° с данной плоскостью, можно провести через две точки, лежащие на этой плоскости

1. 1

2. 2

3. 3

4. более 3

Ответ: 2.

Какую фигуру представляет собой множество биссектрис линейных углов двугранного угла?

1. Полуплоскость

2. Плоскость

3. Конус

4. Две перпендикулярные плоскости

Тесты. Проверь себя. Выбери все правильные ответы.

Дана плоскость и две точки вне ее. Каким (в зависимости от их взаимного расположения) может быть общее число плоскостей, составляющих угол 30° с данной плоскостью и проходящих через данные точки

1. 0

2. 1

3. 2

4. более 2

Ответ: 1, 2, 3.

Две плоскости пересекаются под углом 30°. Угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях, может быть равным

1. 15°

2. 30°

3. 60°

4. 120°

Ответ: 1, 2, 3.

Угол между гранями двугранного угла

1. равен углу между любыми лучами, параллельными граням угла

2. равен углу между некоторыми лучами, параллельными граням угла

3. равен углу между любыми лучами, перпендикулярными граням угла

4. равен углу между некоторыми лучами, перпендикулярными граням угла

Ответ: 2, 4.

Угол между плоскостями

1. равен углу между любыми прямыми, параллельными этим плоскостям

2. равен углу между некоторыми прямыми, параллельными этим плоскостям

3. равен углу между любыми прямыми, перпендикулярными этим плоскостям

4. равен углу между некоторыми прямыми, перпендикулярными этим плоскостям

Ответ: 2, 3, 4.

Ученики демонстрируют свои знания.

Составляют ассоциативную карту

 

Учебник

 

Разноуровневыекарточки

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ассоциативная карта» проводит закрепление урока.

 

Признак перпендикулярности двух плоскостей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учащиеся составляют ассоциативную карту. Бумага А4
5 мин. V. Итог урока. Вы сегодня многое узнали о спряжении глаголов. Каждый воспринял новую информацию по-своему. Давайте, напишем телеграмму своим одноклассникам. (По стратегии «Телеграмма») Ученики пишут телеграммы своим одноклассникам. Оценивают свои работы.

 

 

стикеры

 

фишки

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения д/работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:___________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

_____________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                    Класс: 10                    урок 46
Тема: Прямоугольная система координат в пространстве
Цель урока:  расширить кругозор понятий;ввести понятие прямоугольной системы координат в пространстве;

·         построение точек по заданным координатам;

·         знакомство с формулами нахождения координат середины отрезка и расстояния между точками и применение их при решении задач.

Ожидаемый результат: способствовать развитию внимания, усидчивости, настойчивости, математической речи.
Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель. Делятся на группы. пазлы

 

5 мин. II. Проверка домашней работы.

С помощью метода «Толстые и тонкие вопросы» проводит проверку домашней работы.

.Сколькими координатами задаётся точка на прямой?

2. Сколькими координатами точка задаётся на плоскости?

3. Сколько координат нужно знать, чтобы определить точку в пространстве

Ученики отвечают на разноуровневые вопросы. Разноуровневыевопросы
20 мин. III. Актуализация знаний.

По методу «Подумать- сговориться- обсудить» проводит изучение новой темы.

 

Координаты середины отрезка:  ; ;     z =? .

Расстояние между точками A и B.

 

|АВ|=

 

Задание для группы

Задание1. Построить точки А(1,4,3) В(0,5,-2) С(0,0,3) Д(4,0,4) (слайд 11,12) и самостоятельно построить М(0;0;-3), Р(-1; -3; -5), К(2; 0;-3).

Задание 2. Определите координаты точек. (слайд13)

Задание 3. Допишите формулы. Даны точки А(х11; z1), В(х22; z2),

Самостоятельное работа для группы

1 группа .

В прямоугольной системе координат построить точки, последовательно соединяя, их друг с другом. Получим модель сварной конструкции. Указать:

§  Какое соединение получилось.

§  К какому типу относится данный сварочный шов (по расположению в пространстве)

§  Найти длину этого шва.

а) А (3;2;3), B(3;2;5), С (5;6;8), D (5;6;6), А (3;2;3)

б) А (3;2;3), К(3;5;3,5), М (5;8;6), D (5;6;6),

2 группа

В прямоугольной системе координат построить точки, последовательно соединяя, их друг с другом. Получим модель сварной конструкции. Указать:

§  Какое соединение получилось.

§  К какому типу относится данный сварочный шов (по расположению в пространстве)

§  Найти длину этого шва.

а) А (3;3;2), В (3;3;5), С (4;6;7), D (4;6;4),  А (3;3;2),

б) D (4;6;4), К (2;7;2), М (2;7;5), С (4;6;7),

 

3 группа

В прямоугольной системе координат построить точки, последовательно соединяя, их друг с другом. Получим модель сварной конструкции. Указать:

§  Какое соединение получилось.

§  К какому типу относится данный сварочный шов (по расположению в пространстве)

§  Найти длину этого шва.

а) А (0;0;2), В(2;4;6), С(2;9;6), D (0;6;2), А (0;0;2),

б) К (0;2;0), М(0;2;2), N (2;6;6), F(2;6;4), ) К (0;2;0),

 

.

Демонстрируют свои знания.

Ученики

 

Учебник

 

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «ИНСЕРТ» проводит закрепление урока.

1.      Даны точки А(4; -2;0) и В(-3;0;2). Постройте эти точки в прямоугольной системе координат. Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

2.      Докажите, что треугольник АВС равносторонний и вычислите его периметр и площадь. А(3;-2;1), В(-2;1;3), С(1;3;-2).   (Решает студент у доски)

3.      Дополнительная задача. Координаты конца отрезка МР  точки М(2;3;1) и его середины точки О(;1;1;1). Вычислите координаты другого конца отрезка.

Учащиеся записывают все, что узнали по данной теме. Заполняют таблицу. Таблица «ИНСЕРТ»
5 мин. V. Итог урока. Этап рефлексии: по стратегии «Телеграмма» проводит рефлексию.

— О чем говорили на уроке?

— Что удалось без особых усилий?

— Что было трудно?

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

_____________________________________________________________________

 

 

Приложение 1

 

Задание 1. Расшифруйте слово.

(3;4)  (-4:-2)  (0;-4)  (4;0)   (0;4)  (-3;6)   (6;2)   (3;9)

 

Что обозначает это слово?)

 

Приложение2

Задание 2. Решите кроссворд.

 

 

По горизонтали:     

  1. Дана точка А(2;3;0).

Как называются числа 2,3,0?

  1. Число 0 называется ….
  2. Число 2 называется ….
  3. Направленный отрезок это …?
  4. На каждой оси координат выбрана единица …

По вертикали:                                                                                                                     . 1. ОУ называется осью ….

  1. На каждой оси задано ….

 

Вопрос: Что значит задать систему координат в пространстве

 

Приложение 3.

Задание 3. Заполните блок-схему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 4

Слайды презентации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                    Класс: 10
Тема: Расстояние между точками
Цель урока: Научить учащихся применять при решении задач формулы нахождения расстояния между точками и координат середины отрезка;
Ожидаемый результат: развитие устной и письменной математической речи и навыков исследовательской работы;
Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Рисунок на спине» Ученики осмысливают поставленную цель. Проводят игру «Рисунок на спине».  

Бумага А4

5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью метода «Ассоциативная карта» осуществляет  проверку домашней работы.

 

Расстояние между точками

 

 

 

 

 

 

 

Ученики демонстрируют свои знания. На бумагах пишут все,. Бумага А4
20 мин. Актуализация знаний.

 

Расстояние между точками  на плоскасти
Расстояние между точками  на прастранстве

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние между точками

Выразим расстояние между двумя точками А11, y1; z1) и А2 (x2; y2; z2) черезкоординаты этих точек.

Рассмотрим сначала случай, когда прямая А1А2 не параллельна оси z (рис. 380). Проведем через точки А1 и А2 прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость ху в точках АА1 и А2 . Эти точки имеют те же координаты х, у.

что и точки А1А2, а координата z у них равна нулю. Проведем теперь плоскость через точку А2, параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую А1А’1 в некоторой точке С. По теореме Пифагора

Отрезки СА2 и A’1A’2 равны, а

Если отрезок А1А2 параллелен оси z, то А1А2= Iz1 — z2I. Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом случае x1=x2, y1=y2.

Таким образом, расстояние между точками А1 и А2 вычисляется по формуле

 

Задание для группы

1 группа

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А( 0;7;6)  и  В(3;5;10)

2.Найдите расстояние между двумя точками С( -1;5; 2) и Д(-1;10;12)

 

2 группа

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А( 6;0;4)  и  В(7;2;10)

2.Найдите расстояние между двумя точками С( -3;8; 2) и Д(-1;10;12)

 

3 группа

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А( 20;3;-6)  и  В(4;5;10)

2.Найдите расстояние между двумя точками С( -1;15; 2) и Д(1;10;8)

Коды ответов

№ задания 1 гр 2 гр 3 гр
1 (1,5; 6; 8) (6,5;  1; 7) (12; 4;2)
2 5 6

 

Учащиеся проводят самоконтроль.

 

Составляют  диаграмму Венн  

Учебник

 

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Толстые и тонкие вопросы» проводит закрепление урока.

 

Задача  для группы

. В плоскости ху найти точку D (х; у; 0),
равноудаленную от трех точек: А (0; 1; —1), В ( — 1; 0; 1), С(0; -1; 0).

Решение.

Имеем:

AD2 = (x-0)2 + (y-0)2 + (0 + 1)2,

BD2=(x + 1)2+(y-0)2+ (0 -1)2,

CD2 = (x-0)2 + (y+1)2+(0-0)2.

 

Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два уравнения для определения х и у:
-4y +1 = 0, 2х-2у + 1 = 0.

 

Отвечают на вопросы учителя. Карточки
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»

Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.

— Что тебе понравилось?

— Что было трудным для тебя?

— Что ты смог сделать без труда?

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

стикеры

 

оценочный лист

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы.  Выучить стихотворение А. А. Фета «Ночь». Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                   Класс: 10  урок 48
Тема: Параллельный перенос в пространстве
Цель урока: формирование знаний учащихся о параллельном переносе в пространстве; изучение его свойств и применение их к решению задач.

развитие устной и письменной речи учащихся, абстрактно-логического мышления, пространственного воображения;

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Солнечный зайчик».

— Ребята, возьмитесь за руки и улыбнитесь друг другу.  Скажите, что вы сейчас почувствовали?

— Я надеюсь, что это ощущение вы сохраните до конца урока.

Ученики осмысливают поставленную цель.

— (Тепло, радость, хорошее настроение)

Делятся на группы.

пазлы

 

5 мин. II. Подготовка к восприятию новой темы.

, изменениях в жизни животных и растений.

. Самостоятельная работа.

1 группа

1) Концы отрезка А(3; 1; 8) и В (5; 7; 2). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно плоскости xz. (6 баллов)

2) Точки А (4; 2; 10), B(10; -2; 8), С(-2; 0; 6) — вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D. (6 баллов)

2 группа

1) Концы отрезка А (5; -2; 1) и В (5; 4; 5). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно начала координат. (6 баллов)

2) Точки В (2; 1; 3), C(1; 1; 4), D(0; 1; 3) — вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины А. (6 баллов)

3 группа

1) Концы отрезка А (7; -3; 4) и B(-1; -1; 2). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно оси X. (6 баллов)

2) Точки A(2; 1; 3), C(2; 1; 5), D (0; 1; 1) — вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины В. (6 баллов)

4 группа

1) Концы отрезка А(2; 1; 3) и В(6; 1; 5). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно плоскости ху. (6 баллов)

2) Точки А (4; 2; -1), В (-4; 2; 1) и D(7; -3; 4) — вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины С. (6 баллов)

Ответ. Вариант 1. 1) (4;-4;5); 2) D(-8;4;8). Вариант 2. 1) (-5;-1;-3); 2) A(1;1;2). Вариант 3. 1) (3;2;-3); 2) B(4;1;7). Вариант 4. 1) (4;1;- 4); 2) С(-1;-3;6).

 

Ученики демонстрируют свои знания. На бумагах пишут все,.
20 мин. III. Актуализация знаний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства параллельного переноса

1. Параллельный перенос есть движение.

2. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

3. При параллельном переносе плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует единственный параллельный перенос, в результате которого точка А переходит в точку А’.

 

Задание для группы

1 группа

Параллельный перенос задается формулами: х1 = х +3, y1 = у — 3, z1 = z + 1. В какую точку при этом параллельном переносе переходит точка А(1;2;3) ?

2 группа

Параллельный перенос задается формулами: х1 = x + 1, у1 = у + 2, z1 = z +3. Точка А при этом переносе переходит в точку В (2; 3; 1). Найдите координаты точки А.

3 группа

Точка А (1; 2; 3) при параллельном переносе переходит в точку В (3;2,1). Запишите формулы этого параллельного переноса.

4 группа

Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (1; 3; 2) переходит в точку В (0; 2; 4), а точка D (2; 2; 2) переходит в точку C (1; 1; 4)?

 

Задания для самостоятельной работы

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В, и С.

2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через отмеченные точки.

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через отмеченные точки

Верные ответы на экране.

 

 

Демонстрируют свои знания.

 

 

Учебник

 

Плакат

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «З-Х-У» проводит закрепление урока.

 

Вопрос  для закрепление

1) Дайте определение параллельного переноса.

2) Перечислите основные свойства параллельного переноса.

3) При параллельном переносе точка А (1;-1; 0) переходит в точку B(3;-1;2). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:

а) данное параллельный перенос задается формулами x1 = x + 2 , y1 = в, z1 = z + 2;

б) начало координат при данном параллельном переносе переходит в точку (-2; 0; — 2);

в) точка В при данном параллельном переносе переходит в точку (5; -1; 4);

г) параллельные перенос, при котором точка В переходит в точку А, задается формулами x1 = x + 2 , y1 = y + 2 , z1 = z + 3.

 

Учащиеся записывают все, что узнали по данной теме. Таблица

«З-Х-У»

5 мин. V. Итог урока. Этап рефлексии:

— О чем говорили на уроке?

— Что удалось без особых усилий?

— Что было трудно?

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:___________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

_____________________________________________________________________

 

 

Приложение

 

 

Задачи для самостоятельного решения

  1. На ребрах AD, CD и MD пирамиды MABCD взяты соответственно точки P, Q и D1. Постройте линию пересечения плоскостей MDB и D1PQ.

Приблизительный ответ.

D1 принадлежит плоскости MBD, D1 принадлежит плоскости PD1Q. В плоскости ABC пересекаются прямые PQи BD в точке Z. ZиD1 общие точки плоскостей PD1Q и MBD, следовательно D1Z искомая линия пересечения.

  1. На ребрах MA, MC и CD пирамиды MABCD взяты соответственно точки A1, C1 и P. Найдите точку пересечения прямой A1P c плоскостью BC1D.

Приблизительный ответ.

Через данную прямую A1P и какую-нибудь точку плоскости BC1D, например N проведем плоскость MAP. Плоскости MAP и BC1D пересекаются по прямой NK. NK пересекается с A1P в точке X. Точка X искомая, так как X принадлежит A1P по построению, X принадлежит NK, следовательно X принадлежит BC1D.

  1. На ребре MC пирамиды MABCD взята точка C1. Через точку A провести прямую, параллельную прямой C1D.

Построим сечение пирамиды плоскостью АС1D. В плоскости сечения через точку A проведем прямую AK параллельную прямой С1D (по правилу построения прямой параллельной данной).

Задачи на готовых чертежах.

  1. Точка K взята в грани ACC1A1. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку K параллельно плоскости BCC1.
  2. Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через прямую AB1 параллельно прямой A1C1.
  3. Выясните пересекаются ли прямые PQ и RV.

После ответа каждого ученика идет совместное обсуждение оценок, результат которого записывается в таблицу достижений учащихся. Обсуждается так же грамотность речи, отмечаются наиболее удачные ответы

Тест

  1. Если две плоскости имеют общую точку, то

А) они называются пересекающимися

Б) они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку

В) они параллельны

  1. Через прямую и не лежащую на ней точку

а) проходит плоскость, и притом только одна

б) проходит бесконечное количество плоскостей

в) нельзя провести плоскость

  1. Если прямая пересекает две параллельные прямые, то

а) она пересекает плоскость, образованную этими прямыми

б) она параллельна плоскости, образованной этими прямыми

в) она лежит в плоскости, определяемой этими параллельными прямыми

  1. Две прямые называются скрещивающимися, если

а) они лежат в одной плоскости и не пересекаются

б) если они не пересекаются

в) если они не пересекаются и не параллельны

  1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то

а) они параллельны

б) они лежат в одной плоскости

в) они скрещивающиеся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                 Класс: 10                                49 урок
Тема: Векторы в пространстве. Координаты вектора в пространстве.
Цель урока: Повторение и систематизация изученного по теме.

Развитие навыков логического мышления при решении задач..

Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент

Цель этапа: Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру«Расскажи мне обо мне», а также делятся на группы.

Ученики осмысливают поставленную цель. Проводят игру «Расскажи мне обо мне». Называют хорошие качества своих одноклассников. С помощью пазлов делятся на группы. Пазлы
5 мин. Проверка пройденного материала. С помощью приема «Карта бита» осуществляет проверку знаний учащихся.

 

1.      Как называется угол, образованный двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и прямой, являющейся общей границей этих полуплоскостей

(двугранный)

 

2.      Как называются стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр  (ребро)

3.      Утверждение, принимаемое без доказательства (аксиома)

4.      Поверхность, составленная из 4 – х треугольников (тетраэдр)

5.      Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело

(многогранник)

6.      Как называются прямые, не лежащие в одной плоскости

(скрещивающиеся)

 

Демонстрируют свои знания.

 

Карты
5 мин. III. Подготовка к восприятию новой темы. Разговорная пятиминутка.

 

Еще очень давно, в школе Пифагора при решении некоторых задач, было замечено, что недостаточно знать одни лишь числа и их свойства. Многие задачи сводились к геометрическим, т. е. изображению чисел отрезками.

И только в 19 веке  в работах ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) впервые встречается термин «вектор» в переводе с латинского  — «несущий».

 

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами.:

 

15 мин. IY. Актуализация знаний

Что на плоскости называется вектором?

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется вектором

В пространстве

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором

1.      Обозначение вектора.

2.      Какой вектор называется нулевым вектором?

Любая точка плоскости является вектором, который называется нулевым

В пространстве

Любая точка пространства является вектором, который называется нулевым

 

3.      Какое направление имеет нулевой вектор?

Начало нулевого вектора совпадает с его концом

В пространстве

Начало и конец нулевого вектора совпадают. Он не имеет какого – либо определенного направления

4.      Что является длиной ненулевого вектора?

Длина вектора АВ – длина отрезка АВ

В пространстве

аналогично

5.      Чему равна длина нулевого вектора? (без слайда)

6.      Какие векторы называются коллинеарными?

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

В пространстве аналогично

7.      Какие векторы называются сонаправленными (противоположно направленными)?

Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое (противоположное) направление, они называются сонаправленными  (противоположно направленными)

В пространстве

Если два вектора АВ и СД коллинеарны, и лучи АВ и СД сонаправлены  (не являются сонаправленными),  то векторы сонаправлены  (противоположно направленные)

8.      Какие векторы называются равными?

АВ = СД, если АВ↑↑СД;

                          |AB| = |CД|

 

Задание  для группы

 

Что запишем в дано? Дан тетраэдр АВСД

М, N, K – середины АС, BC, BD…

Что нужно найти?…

Выполняем чертеж   (слайд)

 

 

 

 

№2 («Вектор»)

Решение.

1 способ.

Вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда:

2 способ.

Учащиеся сверяют свое решение задачи в тетради с решением на доске, делают замечания по оформлению, спрашивают, если что-то непонятно.

№ 3 («Скаляр»)

Решение:

1 способ.

2 способ.

№ 4 («Вектор»)

Решение:

(По правилу треугольника).

, т.е.

ABCD – прямоугольник или квадрат.

10 мин. V. Закрепление урока. С помощью метода «Толстые и тонкие вопросы» проводит закрепление урока. Демонстрируют свои знания. Отвечают на разноуровневые вопросы. Разноуровневые карточки
5 мин. VI. Итог урока

Цель этапа: самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности.
Проводит рефлексию.

-Какую цель мы поставили сегодня на уроке?

-Достигли мы целей, которые ставили в начале урока?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. Оценивают работу своих одноклассников. С помощью смайликов изображают свое настроение. Карточки

 

Смайлики

 

 

 

 

 2 мин. VII. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

Ученики записывают в дневниках. Дневник

 

Итог урока:___________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы в пространстве.

Цели урока:

Образовательная:

1) ввести определение прямоугольной системы координат в пространстве и вектора в пространстве и связанные с ним понятия;

2) дать определение равенства векторов;

3) научить решать задачи по данной теме.

Развивающая:

развитие пространственного воображения и логического мышления.

Воспитательная:

воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний.

Тип урока: изучение нового материала

Контингент учащихся: 11 класс

Задачи урока:

  • Дать определение вектора
  • Выяснить, какие векторы являются коллинеарными, компланарными
  • Ввести понятие системы координат в пространстве.
  • Выработать умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат.

Актуализация знаний

Давайте вспомним сколькими координатами мы задавали точку в прямоугольной системы координат? (2-мя). Назовите их. (xи y).

Определите координаты у точек  — Е (9; -3; 0), С (2; -6; 3), Р (0; 5; -7) (слайд №4)

z

Так как же задается система координат в пространстве? В пространстве точка задается тремя координатами (x,y,z).Давайте начертим эту систему координат.(слайд №5)                            Ось Ox-ось абцисс

Ось Оу-ось ординат

Ось Oz-ось аппликат

y
x
0

 

 

 

 

Кроме того, так как мы находимся в пространстве появляются еще координатные плоскости: xOy, yOz, xOz. Таким образом, теперь в пространстве мы можем указать три координаты, которые целиком определяют ее место положение.

В качестве примера найдем координаты точекA(-1; 3;-6), B(-2;-3; 4), C( 3;-2; 6).

B(1,2,6)
z

А теперь давайте построим точку A(2,3,5) (строит учитель у доски) B(1,2,6) –

 

 

 

 

 

 

x
y
2
A(2,3,5)

 

 

 

 

 

Давайте заполним следующую таблицу: (слайд №7)

Нахождение координат точек

Точка лежит

 

                              На оси                                                                                 В плоскости                                          Oxy(x,y,0)

    Ox(x,0,0)                                Oz(0,0,z)                                                                  Oyz(0,y,z)

                            Oy(0,y,0)                                                                   Oxz(x,0,z)   

Решим следующую задачу: Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: A(0,0,0), B(0,0,1), D(0,1,0) и A1(1,0,0). Найдите координаты остальных вершин куба. (уcтно) слайд №8

Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер. (Слайд № 3)

При изучении электрических и магнитных полей в пространстве появляются новые физические величины векторного характера: вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции. (Слайд № 4, № 5)

Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. (Слайд №6) Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. (Слайд №7) Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.

Так что же такое вектор? Давайте запишем определение. (слайд №8). Вектор может обозначаться двумя заглавными буквами или одной маленькой, например, .

Любую точку пространства можно рассматривать как вектор. Такой вектор называется нулевым. Он обозначаетсядвумя одинаковыми буквами (слайд №9).

Любой вектор, так же, как и отрезок имеет длину. Как вы думаете, что принято принимать за длину вектора? (высказывают свои предположения). Запишите полное определение длины вектора. (слайд №10).

А как вы думаете, чему равна длина нулевого вектора? (0)

Так же как и на плоскости, в пространстве есть коллинеарные вектора. Запишите определение какие же вектора мы будем называть коллинеарными. (слайд №11).

Коллинеарные вектора бывают сонаправленными и противоположно направленными. Как вы думаете сонаправленные как расположены? (смотрят в одну сторону), а противоположно направленные (смотрят в разные стороны). (слайд №12)

Так же как и обычные отрезки вектора бывают равными.(слайд №13)

Закрепление:

  • На данном чертеже назовите сонаправленные и противоположно направленные вектора. Найдите длины векторов. (слайд №14)
  • Могут ли быть вектора на рисунке равными. Объясните ответ (слайд №15)
  • На рисунке назовите все пары сонаправленных векторов, противоположно направленныхи равных векторов. (слайд №16)

Отгадайте следующий кроссворд.(слайд №17)

1) Фамилия математика, в работе которого впервые появилось понятие вектора.

2) Как называется отрезок, для которого указано начало и конец?

3) Название двух ненулевых векторов, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых.

4) Математик, который ввел современное обозначение вектора.

5) Чему равна длина вектора АВ?

6) Чем характеризуется в каждой точке пространства магнитное поле?

7) Как называются два вектора, если они сонаправлены и их длины равны?

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:      Класс: 10                      урок 50
Тема:  Действия над векторами в координатах.
Цель урока: — обобщение у учащихся знаний о векторах в координатах и выявления уровня усвоения навыков выполнения действий над векторами в пространстве;

Задачи: —  совершенствовать у учащихся умения и навыки выполнения действий над векторами;

— развивать у учащихся навыки самостоятельного выполнения заданий;

— воспитывать у учащихся сознательное отношение к изучению данной темы.

Ожидаемые результаты (учащиеся должны):

знать:  — определения  суммы, разности и произведения векторов;

уметь: — решать задания на выполнение действий над векторами в координатах;

понимать: —  алгоритм выполнения действий над векторами, используя правила треугольника и параллелограмма.

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха.Для создания психологической атмосферы проводит игру «Солнечный зайчик»

— Возьмите себя за руки и улыбнитесь друг другу. Скажите, что вы сейчас почувствовали?

Ученики осмысливают поставленную цель. Дети берут друг друга за руки и улыбаются.
5 мин. II. Мотивация к изучению нового.

С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока.

Вопросы: 1) Числа, которые определяют положение точки, называются …? (Координатами).

2) Величина, которая задается своей длиной и направлением, называется …? (Вектором).

3) Вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых, называются …? (Коллинеарными).

4) Разностью векторов  и  называется …? (такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор ).

5) Чтобы найти координаты вектора нужно …? (из координат конца вектора вычесть координаты начала).

6) При умножении векторов на число …? (все координаты вектора умножаются на это число).

7) При сложении векторов …? (их соответствующие координаты складываются).

8) Формула нахождения длины вектора ?         

 ( ).

9) Формула нахождения координат вектора ? (

10) Формула нахождения координаты середины вектора ?

( ).

Ученики отвечают на вопросы учителя.
25 мин. III. Актуализация знаний

Постановка цели урока.

 

Задание для группы

1 группа

Дано:

         

                                    Решение

1)   Находим координаты вектора

;

2)   Затем находим координаты вектора  

3)   Теперь находим аналогично координаты вектора

4)      Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:

Ответ:  

2 группа ) – каждый учащийся решает по одной задаче, после выполнения решения, учащиеся обмениваются тетрадями и производят проверку правильности выполнения задачи, комментируя правильность решения в случае неверного решения (после выполнения данного задания каждый учащийся выставляет баллы от 1 до 5 тому учащемуся, которого проверял).

 

Дано:

         

;   2) .

                                    Решение

Первый случай

1)   Находим координаты вектора

;

2)   Затем находим разность векторов  

;

3)   Теперь находим  длину вектора :

 

 

3 группа

1)    Находим координаты вектора

;

2)   Находим координаты вектора

;

3)   Затем находим сумму векторов  

;

4)   Теперь находим  длину вектора :

 

 

 

Ответ:

 

4)      С учетом познавательных и когнитивных способностей необходимо учащимся раздать разноуровневые задания на применение навыков и умений действий над векторами (работа в тетрадях).

Под диктовку учителя записывают диктант. Сборник диктантов
5 мин. IV. Закрепление урока.

1 группа

1.   Найдите координаты вектора , если

2.   Даны векторы  и  Найдите координаты и длину вектора  .

 

2 группа

1.   Даны векторы  и  Найдите координаты и длину вектора  .

2.   Даны векторы Найдите координаты вектора

3.   Найдите длину вектора  , если

 

3 группа

1.   Даны векторы Найдите координаты вектора

2.   Найдите длину вектора , если

3.   Из точки  построен вектор . Найдите координаты точки , если:

 

4.   Даны векторы  и  Найдите координаты и длину вектора  .

Выполняют грамматическое задание. Выписывают словосочетания.
5 мин. V. Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию. Стратегия «Телеграмма»

— Какие затруднения у вас возникли при работе на уроке?

— Какие знания у вас были крепкими?

Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями. Пишут телеграмму своим одноклассникам. фишки

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы: Повторить теоретический материал по теме «Синтаксическая связь в словосочетаниях».

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:___________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

 

 

 

 

  1. Найдите сумму векторов:
  2. (2; -6; 6); B) (2; -6;14);      C) (10; -2; 6);     D) (2; -2; 6);      E) (10; -2; -14)

 

  1. Умножьте вектор на –3:

А)    (-12; -6; -3);   B) (12; -6; -3);    C) (-12; 6; 3);    D) (-12; -6; 3);   E) (-12; 6; -3).

 

  1. Найдите разность векторов:
  2. (-2; 5; -3);  B) (2; -5; 3);      C) (-2; -5; 3);      D) (2; 5; 7);      E) (2; 5; -3).

 

  1. Найдите координаты вектора если
  2. (3; -6; 5); B) (3; 6;-5);      C) (-3; 6; -5);      D) (7; -4; 1);      E) (-3; 6; 5).

 

  1. Найдите длину вектора если .
  2. 4; B) 9; C) 5;       D) 3;      E)

 

Числа, которые определяют положение точки, называются …? Координатами
Величина, которая задается своей длиной и направлением, называется …? Вектором
Вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых, называются …? Коллинеарными
Разностью векторов  и  называется …? такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор
Чтобы найти координаты вектора нужно …? из координат конца вектора вычесть координаты начала
При умножении векторов на число …? все координаты вектора умножаются на это число
При сложении векторов …? их соответствующие координаты складываются
Формула нахождения длины  вектора
Формула нахождения координат вектора ?
Формула нахождения координаты середины вектора ?
Вариант А

1.   Найдите координаты вектора , если

2.   Даны векторы  и  Найдите координаты и длину вектора  .

Вариант В

1.   Даны векторы  и  Найдите координаты и длину вектора  .

2.   Даны векторы Найдите координаты вектора

3.   Найдите длину вектора  , если

 

 

Вариант С

1.   Даны векторы Найдите координаты вектора

2.   Найдите длину вектора , если

3.   Из точки  построен вектор . Найдите координаты точки , если:

 

4.   Даны векторы  и  Найдите координаты и длину вектора  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тестовое задание

  1. Найдите сумму векторов:
  2. (2; -6; 6); B) (2; -6;14);     C) (10; -2; 6);     D) (2; -2; 6);     E) (10; -2; -14)

 

  1. Умножьте вектор на –3:

А)  (-12; -6; -3);   B) (12; -6; -3);  C) (-12; 6; 3);  D) (-12; -6; 3);  E) (-12; 6; -3).

 

  1. Найдите разность векторов:
  2. (-2; 5; -3); B) (2; -5; 3);     C) (-2; -5; 3);     D) (2; 5; 7);     E) (2; 5; -3).

 

  1. Найдите координаты вектора если
  2. (3; -6; 5); B) (3; 6;-5);     C) (-3; 6; -5);     D) (7; -4; 1);     E) (-3; 6; 5).

 

  1. Найдите длину вектора если .
  2. 4; B) 9;     C) 5;     D) 3;     E) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конспект урока геометрии в 9  классе по теме   урок 51-52

«Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам»

Тип урока – урок изучения нового материала

Цели урока:

обучающие:

познакомиться с понятием координаты вектора,

изучить правила нахождения координат  суммы и разности  векторов, координат произведения  вектора на число;

научить применять знания при решении геометрических задач;

развивающие:

формировать у учащихся таких приемов мышления и мыслительных операций как сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, умение делать логические выводы;

 

Ход урока время Действия учеников
1.                  Организационный момент.Знакомство 1мин Приветствие учителя
2.      Актуализация знаний

Устный опрос

1. Дайте определение вектора

[Вектором или направленным отрезком называется отрезок для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.]

2 Длина или модуль ненулевого вектора АВ – это

[длина отрезка АВ]

3.Ненулевые вектора называются коллинеарными, если…

[они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых]

4. Два коллинеарных вектора направленные одинаково называются

[сонаправлеными]

6. Векторы называются равными, если…

[они сонаправлены и их длины равны]

Решение задач по готовым чертежам

ABCD-параллелограмм

Выразите

А) через

Б)  через ,

В)  через ,

Г)  через ,

 

5мин  

 

 

Ответы учащихся

3.      Изучение нового материала

Всегда ли можно выразить один вектор через другой?

Рассмотрим два случая: 1)векторы коллинеарны 2)векторы неколлинеарны

1)      Лемма. Стр227 учебника. Разбор доказательства по учебнику

2)      Теорема. Видео-объяснение доказательства

http://fcior.edu.ru/card/8332/razlozhenie-vektora-po-dvum-nekollinearnym-vektoram-i1.html

Рассмотрим прямоугольную систему координат. Отложим от начала координат О единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i   и j так, чтобы направление вектора i  совпало с направлением оси Ох, а направление вектора  j – с направлением оси Oy. Векторы  i   и j назовем координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны, поэтому любой вектор р можно разложить по координатным векторам , т.е. представить в виде  p = xi + yj, причём коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора р по координатным векторам называются координатами вектора р  в данной системе координат. Координатные векторы будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора. На рисунке вектор ,  и вектор

 

Группам м предлагается сначала поработать в группах;

1 группа Выдвижение гипотиз;

2 группа Воплощение одной из них;  способ решения – алгоритм-консультация по методу полюса;

3 группа: Выбор оптимального решения.)

 

 

 

4.Закрепление изученного материала

Решить задачу:

1. В ∆АВС  ВМ=1/3 АВ,АК=1/4 АС,  = ,  = , АР- медиана.а) Выразите  через   и   ; б) Постройте  = 3  + 2 .

2)∆ DEF,EK-медиана, ЕО=ОК. Выразите  через  и .

3)АВСD –трапеция, АD  и ВС- основания, АD=2ВС,АК=КD.

А)построите  = +2 ;

Б)обозначте конец    буквой М и докажите, что = .

5. Домашнее задание
6. Итог урока.

Что вы сегодня узнали?

 

 

Т.  о разложении вектора

Координаты вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                            Класс: 10   урок 53-54
Тема Скалярное произведение векторов
Цель урока: сформулировать теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия;

показать применение скалярного произведения векторов при решении задач.

Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент

Цель этапа: Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру«Хорошее настроение».Похлопайте в ладоши те, у кого сегодня хорошее настроение.Посмотрите друг на друга – улыбнитесь!

Ученики осмысливают поставленную цель. Проводят игру «Хорошее настроение». Улыбаются друг другу.
5 мин. II. Проверка пройденного материала. С помощью метода «Толстые и тонкие вопросы»осуществляет проверку знаний учащихся. Демонстрируют свои знания. Отвечают на разноуровневые вопросы. Разноуровневые карточки
5 мин. III. Подготовка к восприятию новой темы.

Математический диктант.

Даны векторы:

1 —  (3; 0; 4);  (7; 0; 2);

2 —  (2; -2; 0);  (3; 0; -3).

Запишите:

1) координаты вектора   , если   =   +  , (2 балла)

2) координаты вектора  , если   = 2  —  ; (2 балла)

3) длину вектора   +  ; (2 балла)

4) координаты вектора  , если известно, что длина вектора   втрое больше длины вектора  ; (2 балла)

5) при каком значении k вектор  (k; 0; 6) колінеарний вектора  ; (2 балла)

6) компланарні векторы  ,   и  (0; 0; 1)? (2 балла)

Ответ. Вариант 1. 1)  (10; 0; 6). 2)  (-1; 0; 6). 3) 2 . 4)  (-9; 0; -12),  (9; 0; 12). 5) k = 21. 6) Да.

Вариант 2. 1)  (5; -2; -3). 2)  (1; -4; 3). 3)  . 4)  (6; -6; 0),  (-6; 6; 0). 5) k = — 6. 6) Hi.

 

Демонстрируют свои знания.

 

 

 

 

 

Мяч

15 мин. IV. Актуализация знаний.

 

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих     векторов.

Теорема. Скалярное произведение векторов выражается формулой

Сравним формулы:

Для введения 2 следствий из теоремы можно предложить всем учащимся решить две задачи (1 задача слабым ученикам, 2 – более сильным).

 

1 группа

а)

б)

.

Посмотрите на ответ и на следствие из теоремы, что мы можем сказать о векторах a,b?

2 задание

А ) .

Когда вектора а и b будут перпендикулярны? (когда их скалярное произведение равно нулю),т.е.

4x=30

x=7,5

2 группа

Задача 1.

Известно, что не нулевые векторы перпендикулярны. Найдите

Дано :

Найти:

Решение:

Равны левые части, то равны и правые. Следовательно:

Тогда

Задача 2.

Известно ненулевые векторы и

Найти .

Дано:

Найти:

Решение:

и

Равны левые части, то равны и правые. Следовательно:

Из формулы следует:

или Т.к.

и , то

 

 

Проявляют интерес к изучаемому материалу.

 

 

 

 

 

Учебник

 

10 мин. V. Закрепление урока. С помощью метода «Аквариум» проводит закрепление урока.

 

Решение задач

1. Найдите   ·  , если  (-2; 3; 1),  (-4; -5; 2).

2. Даны векторы  (2; -1; 4),  (5; 3; n). При каком значении п скалярное произведение векторов равна -3?

Из определения скалярного произведения двух векторов   и   вытекают его свойства.

1)   ·   =   ·  .

2) (  +  ) ·   =   ·   +  ·  .

3) Скалярное произведение векторов   и   равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними:   ·   =   ·   cos φ (рис. 297).

Вопрос к классу

1) Что называется скалярным произведением векторов  (аx; y; z) и  (bx; by; bz)?

2) Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.

3) условие ортогональности двух ненулевых векторов?

4) В пространстве даны векторы  (1; 1; -1),  (0; -1; 1). Укажите, какие из указанных утверждений правильные, а какие — неправильные:

а)   = 1;

б) векторы   и   перпендикулярны;

в) векторы   +   и   не перпендикулярны;

г)  ·( + ) = 1;

д) векторы   и   +   образуют угол, косинус которого равен  .

 

 

!

 

Карточки

 

 

 

 

5 мин. VI. Итог урока

Оценивание фишками  Проводит рефлексию.

— За что бы вы себя могли похвалить?

— Какие трудности встретились на уроке?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока. Оценивают работу своих одноклассников.  

Светофор

 

Стикеры

 

 2 мин. VII.  Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

Ученики записывают в дневниках. Дневник

 

 

Итог урока:__________________________________________________________________________

 

____________________________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:_________________________________________________________

 

_____________________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:__________________________________________________________

 

_____________________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ксп          предмет:  геометрия                                                     дата: 3.04                                      урок № 54-55

Предмет, класс

Математика 10  класс.
Тема урока,

 

   Применение векторов
Актуальность использования средств ИКТ Повышение качества знаний .Развитие познавательного интереса у учащихся через  парную и коллективную работу. Обеспечение наглядности учебного материала.
Цель урока
  1. Уметь применять знания  при решении задач

 

Задачи урока обучающие развивающие воспитательные
1. выявить связи геометрии с различными областями человеческих знаний (в частности, на  примере решения задач с практическим применением); систематизировать и расширить знания учащихся о векторах,

 

 

 развить навыки использования векторов в математике и ее приложениях, в частности, навыки, связанные с разложением вектора на составляющие, со сложением сил, вычислением длин отрезков и углов, вычисления скалярного произведения воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе
Ожидаймый результат Учатся самостоятельно оценивать и принимать решения, определяющие стратегию поведения, с учетом гражданских и нравственных ценностей

Учатся умению работать в группе, вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения

 

Этапы урока Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учащихся УУД
1.Организационный момент.

 

Создать благоприятный психологический настрой на работу.

 

Приветствие.

Притча

Проверяет готовность к уроку.

.

 

 

 Приветствуют, слушают, размышляют

Проверяют свою готовность к уроку.

Включаются в деловой ритм урока.

 

 

Оценивать учебные ситуации в соответствии с правилами поведения и этики.

(личностные)

 

2. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

 

Проверка домашней работы.

 

Организует проверку домашней работы   учащихся   через взимооценивание

 

Какие ошибки были допущены в домашней работе?

 

Учащиеся меняются тетрадями и проверяют домашнюю работу ,  сравнивают  ответы с ключом написанным на доске Взаимооценивание.

Анализ  типичных ошибок домашней работы

Самооценка соответствия имеющихся знаний и умений

заявленным требованиям(логические)

Формирование грамотной устной математической речи

Умение сравнивать результат своей деятельности с эталоном

3.Мозговая атака

 

Проверка  определений и формул для векторов Вопросы Какие действия можно выполнять над векторами, заданными своими координатами?Какие векторы называются коллинеарными?Условие коллинеарности двух ненулевых векторов?Определение угла между векторами?Определение скалярного произведения двух ненулевых векторов?  Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов?В чем заключается физический смысл скалярного произведения двух векторов?Записать формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов через их координаты на плоскости и в пространстве. Записать формулы для вычисления длины вектора на плоскости и в пространстве.

 

Ученики  отвечают индивидуально на поставленные вопросы Формирование грамотной устной математической речи

Взаимооценка уч-ся

 

Постановка целей урока  Обеспечение  мотивации учения детьми, принятие ими целей урока. Учитель предлагает перед началом урока повторить  теорию по пройденной теме

 

Какие цели урока?

 

Дополняют тему урока.

формулируют цели для себя на этом уроке.

l  Уметь применять правила в стандартной ситуации.

l  Закрепить действия  над  тригонометрическим функциями

l  Способствовать развитию личностных качеств.

Самостоятельное формулирование познавательной цели

 

Этапы урока

 

Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учащихся УУД
4.  Работа с карточками  Применение знаний на практике Организует индивидуальную работу

l

Учащиеся выполняют   карточку

И объясняют  свои решения друг другу по парте

Формирование грамотной

устной математической речи

 

5.Физкультминутка Провести музыкальную паузу, зарядку для рук и головы Организует разминку, способствует здоровьюсбережению  ученического потенциала. Учащиеся выполняют физические упражнения. Формирование бережного

отношения к своему здоровью.

6.Работа  коллективная Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.

 

Учитель предлагает решить задачу

1. Дело об исчезнувшем парашютисте.
К нам поступило сообщение о том, что после тренировочных прыжков с парашютом, исчез парашютист С.
Ознакомимся с деталями дела.
Парашютист С. после прыжка из самолёта  спускался вниз на землю со скоростью 4 м/с. Но вдруг поднялся ветер, и парашютиста стало сносить в сторону со скоростью 3 м/с.
Уважаемые детективы, вам надо определить место падения парашютиста, если время его свободного падения составляло 3 минуты.

Ответ: на расстоянии 900 м от точки выброса парашютистов

2. В треугольнике АВС найти величину угла В, если

А (0; 5; 0), В (4; 3; -8), С (-1; -3; -6).

Решение:

= (-4; 2; 8)

= (-5; -6; 2)

cos   =  =

71

Учащиеся выполняют задания по применению знаний

 

 

 

Самоорганизация

Осуществление поиска и выделения необходимой информации.

(познавательные)

Выбор наиболее эффективных

способов решения задач,

рефлексия способов и

условий действий.

(познавательные).

 

 

 

 

 

Этапы урока Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учащихся УУД
8.Итоги урока Рефлексия

.

Лист самооценивания

Смайлики.

Урок отличный. Всё поняли и  ещё раз повторили  материал.

 

Урок хороший. Но были слишком  сложные (легкие) задания.

 

Урок хороший, но не все задания удалось выполнить.

 

Учитель предлагает подсчитать заработанные баллы за урок  в листе самооценивания.

Кто доволен результатами своей работы  на уроке ?

Кто достиг своей цели на уроке?

 

Учащиеся подсчитывают свои баллы и сравнивают с нормой ,  делают выводы по достижению цели урока. Самооценка, осознание качества и уровня усвоения изученного
9.Домашнее задание Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.  Запись домашнего задания на доске Учащиеся записывают задания в дневник.

 

 

 

Дата:

Класс: 10      56   урок

Тема: Контрольная работа №

 

Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах. ;

.

 

Деятельность учителя

 

Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Мне в тебе нравится».

 

Ученики кидая друг другу мяч, называют хорошие качества своих одноклассников. мяч
35 мин. III. Актуализация знаний.  Постановка цели урока.

.

Под диктовку учителя записывают диктант.
5 мин. V.Итог урока. Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию.

 

Ученики индивидуально работают над предложенными заданиями. светофор

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                               Класс: 10   урок 57
Тема:  Частицы
Цель урока: Научить распознавать сонаправленные и противоположно направленные векторы применять эти понятия при решении задач.Сформировать умение строить равные векторы.Воспитывать у учащихся потребность к обоснованию своих высказываний.Развивать эстетические навыки: красоту, точность и аккуратность построения.Развивать коммуникативные навыки
Деятельность учителя         Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру«Жокей и лошадь», а также делятся на группы. Учащиеся осмысливают поставленную цель. Делятся на группы. пазлы

 

раздаточные  материалы

3 мин. II. Проверка домашней работы.  С помощью метода «Корзина идей» осуществляет проверку домашней работы. Демонстрируют свои знания. Стикеры

 

Корзина

3 мин. III. Подготовка к восприятию новой темы. Ученики внимательно слушают стихотворение.

Находят частицы из стихотворения.

20 мин. IY. Актуализация знаний.

6.    Умножьте вектор  на –3:

А)    (-12; -6; -3);   B) (12; -6; -3);    C) (-12; 6; 3);    D) (-12; -6; 3);   E) (-12; 6; -3).

 

7.   Найдите разность векторов:

B)    (-2; 5; -3);      B) (2; -5; 3);      C) (-2; -5; 3);      D) (2; 5; 7);      E) (2; 5; -3).

 

8.   Найдите координаты вектора  если

B)    (3; -6; 5);      B) (3; 6;-5);      C) (-3; 6; -5);      D) (7; -4; 1);      E) (-3; 6; 5).

 

9.   Найдите длину вектора  если .

B)  4;       B) 9;       C) 5;       D) 3;      E)

Тестовое задание

6.   Найдите сумму векторов:

B)    (2; -6; 6);     B) (2; -6;14);     C) (10; -2; 6);     D) (2; -2; 6);     E) (10; -2; -14)

 

7.   Умножьте вектор  на –3:

А)  (-12; -6; -3);   B) (12; -6; -3);  C) (-12; 6; 3);  D) (-12; -6; 3);  E) (-12; 6; -3).

 

8.   Найдите разность векторов:

B)    (-2; 5; -3);     B) (2; -5; 3);     C) (-2; -5; 3);     D) (2; 5; 7);     E) (2; 5; -3).

 

9.   Найдите координаты вектора  если

B)    (3; -6; 5);     B) (3; 6;-5);     C) (-3; 6; -5);     D) (7; -4; 1);     E) (-3; 6; 5).

 

10. Найдите длину вектора  если .

B)  4;     B) 9;     C) 5;     D) 3;     E) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ученики  внимательно слушают стихотворение.(союз да в значении но)

(полно – прекратить, остановить, просят не считаться).

(а – противительный союз, противопоставляет простые предложения в составе сложного).

(ж – сожаление)

(А — радость, усиление).

Лепестки ромашки
10 мин. V. Закрепление урока.

 

Работают по карточкам.  

Карточки

 

 

5 мин. VI. Итог урока. На столах у слушателей вырезанная из бумаги ладонь. Если информация, полученная на уроке, небесполезная и урок понравился, поставьте на вырезанную ладонь ! или +. Если считаешь, что информация тебе бесполезна и урок не понравился поставь 0 или — Оценивают работу свох одноклассников. Заканчивают фразу. Стикеры

 

 

Вырезанные бумажные ладони

 

 4 мин. VII. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы.Написать небольшое сочинение «Если бы я был…» Подумайте, если бы вы были кем-то, то как развивались бы события… Дайте волю фантазии! Записывают домашнюю работу.  

 

 

Итог урока:__________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:_________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                                    класс: 10    урок 58
Тема: Решение задачи
Цель урока: формирование умений учащихся применять изученный материал к решению задач.
Деятельность учителя         Деятельность обучающихся наглядности
2 мин. I. Организационный момент. Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру«Атомы и молекулы», а также делятся на группы. Ученики осмысливают поставленную цель. Делятся на группы. пазлы

 

 

5 мин. Проверка домашней работы. С помощью метода «Ромашка Блума» осуществляет проверку домашней работы.

1) Чему равно скалярное произведение векторов, которые заданы координатами?

2) Как можно вычислить скалярное произведение векторов, если известны их длины и угол между ними?

3) Как можно определить косинус угла между двумя ненулевыми векторами?

4) Сформулируйте признак перпендикулярности двух ненулевых векторов.

Ученики демонстрируют свои знания. Отвечают на вопросы преподавателя. Карточки

 

 

3 мин. III. Подготовка к восприятию новой темы. Обучающиеся внимательно слушают преподавателя.

 

 

20 мин. IY. Актуализация знаний.

Что называется обращением?

Задание для группы

1 группа:  Найдите длину диагонали АС параллелограмма ABCD, если А (2; — 6; 0), В (-4; 8; 2), D (0;-12;0).

Решение

Поскольку  (- 6; 14; 2),   (-2; -6; 0), то   =   +  , AC (-8; 8; 2)

(рис. 300).

Тогда  =   =   = 2 . Ответ. 2 .

 

2 группа:  Найдите угол между стороной АС и медиане ВМ треугольника АВС, если А(-3; -5; 1), В(-4; -1; -2) и С(3; 3; 1).

Решение

Угол между стороной АС и медианой ВМ равен углу φ между векторами   и   (рис. 301), или, если угол между этими векторами тупой,- угла 180° — φ.

Найдем координаты точки М: М  = М (0; -1; 1).

Тогда  (-4; 0; -3),  (-3; -4; 0);

cos φ = = =  . φ = arccos   — острый угол. Следовательно, угол между стороной АС и медианой ВМ равен arccos  .

Ответ. arccos  .

 

3 группа: Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах  (3;0;-4) и  (0;5;0).

Решение

Пусть параллелограмм ABCD построен на векторах AB и AD (рис. 302). Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними: S =   ·   · sin φ.

=   = 5;   =   = 5;

cos φ =  =  = 0 .

Поскольку cos φ = 0 , то φ = 90° . Тогда sin φ = 1 и S = 5 · 5 · 1 = 25.

Ответ. 25.

 

10 мин. V. Закрепление урока.

Просмотрите все выполненные ранее упражнения и ответьте на следующие вопросы:

Задание для группы:

 

. Решение задачи о тетраэдре векторным способом

В тетраэдре ABCD M и N – точки пересечения медиан граней ADB и BDC. Доказать, что . Найти отношение

Решение:

 

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Решим задачу векторным методом. Для начала вводим тройку некомпланарных векторов, пусть . Мы знаем, что теперь любые векторы в пространстве можно выразить через три выбранных вектора, при чем единственным образом. Выразим вектор

Мы применили свойство точки пересечения медиан треугольника – она делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины.

Выразим векторы   и  .

Аналогичным образом

Имеем:

Теперь выразим вектор  :

Очевидна связь между векторами:   или

Очевиден ответ на поставленный вопрос: прямые MN и АС параллельны, т. к. векторы   и   коллинеарны; отношение   составляет  .

Самостоятельное работа

1.      1. докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

2.      2. высоты АМ и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите векторы   по векторам

3.      3. в тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной А.

Ученики проявляют свои способности по данной теме.  

 

3 мин. VI. Итог урокаРефлексия

 Игра «Цель вопросов» Составьте предложения с обращениями к учителю или коллегам, выразив свое отношение к уроку или свое настроение.

ТЕЛЕГРАММА

Сегодня на уроке:::::

На выполнение работы отводится 2 минуты.

Чью телеграмму вы хотите, чтобы я прочитала?

Удалось ли вам сделать на уроке какое-то маленькое открытие? Покажите знаком, если удалось.

Оценивают работу своих одноклассников, используя обращения в своей речи. Пишут телеграмму своим друзьям.

 

 

 

Стикеры

 

 

2 мин. VII. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Напишите небольшое письмо другу, используя обращения. Записывают домашнюю работу.  

 

 

Итог урока:_________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:_________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

 

 

Отрицательные стороны урока:_________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема Решение задачи на повторение     урок 59
Цель Повторить  понятия “вектор, длина вектора, коллинеарные векторы”.Научить распознавать сонаправленные и противоположно направленные векторы применять эти понятия при решении задач.

дать определение равенства векторов;
научить решать задачи по данной теме.

Этапы урока Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учащихся
1.Оргмомент Адапционный момент. Деление на группы.Позитивный настрой.  Приветствует учащихся,заслушивает сообщение дежурного о готовности класса к уроку, наличии необходимых инструментов,сообщение темы урока . Учащиеся делятся на группы с помощью приклеенных разноцветных стикеров на стене,смотрят клип позитивный настрой
2. Стадия вызова

Постановка

цели урока.

Игра “Верю, не верю” (прием верные и неверные утверждения). Повторение теоретического материала. Вопросы, вызывающие затруднения обсуждаются тут же.

 

Направлена на вызов у воспитанников уже имеющихся знаний по изучаемому вопросу, активизации их деятельности, мотивацию к дальнейшей работе. Учащиеся каждой команды отвечают на вопросы №1 и №2.У учащихся в руках цветные сигнальные карточки (зеленый цвет – да, красный – нет). Слайды №2-№13.

 

3. Новая информация

 

Смысловая стадия

Прием»Учимся сообща» -формы работы индивидуальная работа,работа в парах и групповая форма работы.Рассмотренные вопросы, требующие разъяснения, выносятся на обсуждение класса. Учитель ознакомит с описанием алгоритма действий: индивидуальная работа,работа в парах и групповая форма работы.Рассмотренные вопросы, требующие разъяснения, выносятся на обсуждение класса. Учитель вносит дополнительные разъяснения. Учащиеся  индивидуальная работают ,а затем проверяют свои ответы по слайдам. Маркируют на  полях (знаки «?», «+», «!» и т.д.). Дальше работают в парах: обсуждают текст, попытаються снять «знаки вопроса». На уроке предусмотрена групповая форма работы, то после индивидуального изучения текста все «знаки вопроса» .

Слайды №14-№15

4. Проверка усвоения нового материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оформление постера»Фишбоун».

Прием»Ромашка Блума»

Описание: «Ромашка» состоит из шести лепестков, каждый из которых содержит определенный тип вопроса.

Простые вопросы

Уточняющие вопросы.

Интерпретационные (объясняющие) вопросы.

Творческие вопросы. Оценочные вопросы. Практические вопросы.

 

 

 

 

 

 

 

Описание: голова — вопрос темы, верхние косточки — основные понятия темы, нижние косточки — суть понятии, хвост – ответ на вопрос. Записи должны быть краткими, представлять собой ключевые слова или фразы, отражающие суть.

Учитель знакомит с этим приемом, например как отвечать  на

Простые вопросы ( что, где, когда,как),

Уточняющие вопросы( то есть ты говоришь что…,если я правильно понял,то…, Я могу ошибаться, но, по-моему, вы сказали о …? Интерпретационные (объясняющие) вопросы. Обычно начинаются со слова «Почему?»

Творческие вопросы. Данный тип вопроса чаще всего содержит частицу «бы», «Что будет, если …?»,

 

Оценочные вопросы. Эти вопросы направлены на выяснение критериев оценки тех или иных событий, явлений, фактов. «Почему что-то хорошо, а что-то плохо?», «Чем один урок отличается от другого?»,

Практические вопросы. Данный тип вопроса направлен на установление взаимосвязи между теорией и практикой: «Как можно применить …?»

— Учащиеся просматривают презентацию, записывают определения в тетрадь Слайды

Таким образом, шесть лепестков — шесть вопросов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дети оформляют постер и с каждой команды выходят защищать свою работу.

5. Музыкальная пауза «Твист»видеоролик Учитель просит учащихся встать, потанцевать вместе с героем слайда. Учащиеся выходят и танцуют под музыку.

 

 

 

6. Самостоятельная работа 1.Перечертить рисунок в тетрадь. Построить векторы    МР  и QN          , такие что MP=a,NQ

2.  Выписать сонаправленные, противоположно направленные и равные векторы

3

Учитель предлагает учащимся два задания на выбор для самостоятельной работы Учащиеся по выбору выполняют задание№1 ,  №2 или №3

Слайд№16.

7. Домашнее задание  

Обсуждение домашнего задания

Придумать и оформить задачу на векторы с практическим применением

выучить определения по учебнику  и выполнить №    60

записывают домашнее задание в дневники №60 .

Слайд №17.

8. Рефлексия

(2 мин)

Прием»Рюкзак»

Описание: прием рефлексии. используется чаще всего на уроках после изучения большого раздела.

Учитель обьясняет суть этого приема зафиксировать свои продвижения в учебе, а также, возможно, в отношениях с другими. Учащиеся отвечая на вопросы учителя, подводят итог урока,выражают мнение об уроке, высказывают пожелания Каждый ученик не просто фиксирует успех, но и приводит конкретный пример.

Я научился составлять план текста.

Я разобрался в такой-то теме.

Я наконец-то запомнил…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                             Класс: 10                урок 61
Тема:  Параллельность плоскостей.
Цель урока: рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве;

ввести понятие параллельности прямой и плоскости;

изучить признак параллельности прямой и плоскости;

формировать умения и навыки читать и строить чертежи пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Путаница». Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.  

 

10 мин. II. Проверка пройденного материала.

По методу  «Ромашка Блума»

осуществляет проверку домашней работы.

.

 

Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе.  

Разноуровневые

карточки

 

20 мин. III. Актуализация знаний

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «Кубизм» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися.

 

Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

 

 

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β

Пример:

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях — пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

 

 

Признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

 

 

Доказательство.

Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

 

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой  плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2,  значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

 

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает  прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β,  значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

 

 

Задание для группы

1 группа

 

. (еще один признак параллельности)

Дано: т ∩ п = К, т Є α, п Є α,

т || β, п || β.

Доказать: α || β.

 

2 группа

 

Дано: отрезки А1А2; В1В2; С1С2

О Є А1А2; О Є В1В2; О Є С1С2

А1О = ОА2; В1О = ОВ2; С1О = ОС2

Доказать: А1В1С1 || А2В2С2

 

3 группа

  . Дано: отрезки А1А2, В1В2, С1С2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину — точку О. Доказать: А1В1С1║А2В2С2.

Доказательство:

А1А2, и В1В2 лежат в одной плоскости по следствию из А1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).

А1В1А2В2 — параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А1В1║ А2В2

Аналогично А1А2, и С1С2 лежат в одной плоскости. А1С1А2С2 — параллелограмм.

Отсюда, А1С1 ║ А2С2

А1В1 ∩ А1С1 =А1; А2В2 ∩ А2С2 = А2.

По признаку параллельности плоскостей А1В1 С1║А2В2С2.

 

 

  4 группа:  Дано: ΔАDС. М, К, Р — середины ВА, ВС, ВD соответственно. SADC = 48 см2.

Доказать: а) МРN║ АDС. б) Найти: SMNP.

 

 

 

 

 

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

 

 

Учебник

 

10 мин. IV.Итог урока.Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.

Вопросы для закрепление

·         Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?

·         Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?

·         . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?a и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости aПлоскости

·         Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?

·         ?a. Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости aБоковые стороны трапеции параллельны плоскости

·         Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?

·         Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

·         Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?

·         Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?

·         ?a, то и третья сторона параллельна плоскости aВерно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

Фишки

 

Стикеры

 

 

 

 

 2 мин. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

 

 

Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                            Класс: 10    урок 62-63
Тема: Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых в пространстве
Цель урока: Формировать интерес к исследовательской и самостоятельной учебно-познавательной деятельности;

Осуществить контроль и диагностику знаний учащихся по теме;

Развивать умения, навыки умственной работы, творческого мышления, умения использовать теоретические знания при решении практических задач;

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель.
5 мин. II. Мотивация к изучению нового.

С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока.

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости(доказательство на модели).

4. Сколько можно провести в пространстве прямых, перпендикулярных данной прямой через точку, лежащую на прямой и через точку, не лежащую на данной прямой?

5. Что можно сказать о плоскости, перпендикулярной к одной из двух параллельных прямых?

6. как расположены в пространстве 2 прямые перпендикулярные одной и той же плоскости; одной и той же прямой?

7.Определение расстояния от точки до плоскости.

8. Теорема о 3-х перпендикулярах (доказательство по готовым чертежам).

9. Назвать виды параллелограммов, для которых существует точка в пространстве, равноудалённая от всех его вершин .

10. Назвать виды параллелограммов, для которых существует точка пространства, равноудалённая от всех его сторон.

 

 

 

 

 

 

 

Ученики отвечают на вопросы учителя.
20 мин. III. Актуализация знаний

Индивидуальная работа. Учитель раздает карточки.

По методу «Снежный ком» изучают новый материал. Предлагает ученикам выполнить упражнение.

Задание для группы

Ребро куба равно α.

Найти расстояние между прямыми:

1)      АD и СС1 ;

2)      ВD и АА1;

3)      АС и В1D1;

4)      СС1 и В1D.

Самостоятельное задание длоя группы

1 группа

Задача. Сторон правильного треугольника АВС равна 2√3 см. К его плоскости проведен перпендикуляр АК, равный 4см. Найдите расстояние от точки К до стороны ВС.

 

Задача 1. Отрезок АМ, равный 12 см, перпендикулярен плоскости треугольника АВС. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=АС=20см, ВС=24см.

 

Задача 2. В прямоугольном треугольнике АВС, ﮮB=α, AC=a. Через вершину  прямого угла проведен к плоскости перпендикуляр, равный а. Найдите расстояние от его концов до гипотенузы.

 

Задача3. К плоскости ромба ABCD, в котором  ﮮА=450   ,АВ=8см, проведен перпендикуляр МС, равный 7см. Найдите расстояние от точки М до сторон ромба.

 

 

2 группа

«Угол между прямой и плоскостью»

 

Задача. Через сторону АВ прямоугольника ABCD проведена плоскость α. Сторона CD удалена от этой плоскости на 3 см, СВ=6см, CD=8см. Найдите:1)угол между прямой DA и плоскостью α ,2)синус угла между прямой BD и плоскостью α.

 

   Задача1. Стороны прямоугольника ABCD равны 6см и 6√3 см. К плоскости прямоугольника через точку пересечения его диагоналей проведен перпендикуляр ОК, равный 6см. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и прямыми КА, КВ, КС и KD.

 

Задача2. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости α. Вершина А удалена от нее на 2√2 дм, ВС=АС=4дм. Найдите угол между плоскостью α и прямой: 1) АС, 2) АВ.

 

Задача3. К плоскости прямоугольного равнобедренного треугольника АВС

(ﮮС=900 ) проведен перпендикуляр МВ, равный а, АС=а. Найдите угол между :1) прямой МА и плоскостью ΔАВС; 2) прямой МС и плоскостью ΔАМВ

 

 

3 группа

 

Задача. Катет АС прямоугольного ΔАВС с прямым углом С лежит в плоскости α., а угол между плоскостями α и ΔАВС равен 600 . Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС=5см, АВ=13см.

 

 

Задача1. Через вершину D квадрата АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр DK, равный 10 см. Угол между плоскостями АВС и КВС  равен 450 . Найдите площадь квадрата АВСD.

 

Задача2. Основание АС равнобедренного ΔАВС принадлежит плоскости α, а вершина В удалена от плоскости α на 3√2 см. Найти площадь ΔАВС, если АС=18см и плоскость ΔАВС наклонена к плоскости α под углом 450.

Задача3. Тупоугольный ΔАВС (ﮮВ=1500 и АВ=АС) расположен стороной АВ на плоскости α и его плоскость составляет с   плоскостью α угол в 600. Проекция вершины С на плоскость α удалена от АВ на 12см. Найдите площадь ΔАВС.

 

 

 

4 группа

Задача. Плоскости прямоугольных треугольников АВС и АВК перпендикулярны. АВ=8см, АК=10см, ﮮАВК=ﮮАВС=900 , ﮮВАС=450 . Вычислите расстояние между точками К и С.

 

Задача 1. Плоскости квадратов АВСD и АВКМ перпендикулярны, МК=а. Найдите расстояние между точками D и М, К и С.

Задача2. Плоскости равностороннего ΔАВС и прямоугольного равнобедренного ΔАDС перпендикулярны. АВ=а, ﮮАDC=900. Вычислите расстояние между вершинами В и D данных треугольников.

 

Задача3. Плоскости равносторонних треугольников ΔАВС и ΔАВD перпендикулярны. Вычислите угол между:1) прямой DC и плоскостью АВС, 2) плоскостями АDC и ВDC.

 

 

 

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Броуновское движение» проводит закрепление урока.

 

          Задание для закрепление урока

Задача 1. Высота прямой призмы ABCLEF равна 12. Основание призмы треугольник АВС, в котором СВ = АС; АВ =18; tg угла В = 0,4. Найти тангенс угла между прямой СЕ и плоскость ALEB.

1)находим угол между прямой СЕ и плоскость ALEB.

2)из точки С опускаем перпендикуляр CD на плоскость ALEB.

3)ED – проекция СЕ на плоскость ALEB

4)угол DEC – искомый угол между прямой СЕ и плоскостью ALEB.

5)рассмотрим треугольник CED. Угол EDC = 900.

6)чтобы найти тангенс угла DEC необходимо знать катет DC и DE. Tg угла DEC =   .

7)DC найдем из треугольника DBC. Тангенс угла В =  . DC = 3.6

8)DE найдем из треугольника DEB, угол EBD = 900¸так как призма прямая.

9)так как треугольник ABC равнобедренный, то CD – высота и медиана, следовательно DB = 1/2AB и равно 9. DE2 = DB2+BE2; значит DE2= 92+122; DE2= 81+144 = 225; DE =15.

10)из треугольника DEC (угол EDC = 900) выразим тангенс угла DEC. Тангенс угла DEC =  ; tg угла DEC = 0.24.

Учитель подводит итог решения задачи, повторяя еще раз основные определения, теоремы, свойства, формулы, используемые в этой задаче.

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Найти периметр трапеции.

1) периметр трапеции равен a+b+c +d. Какое важное свойство окружности, вписанной в четырехугольник , используется при решении задачи?

2)так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных ее сторон равны, то есть а+b = с+d, где а и b — основания трапеции, а c и d -боковые стороны.

3) анализируем далее условие задачи. Точка касания делит боковую сторону трапеции на отрезки 2 и 8, значит СD =10. Какое важное свойство касательных к окружности мы используем?

4)DO = DK. (отрезки касательных, проведенные из точки к окружности равны) АК = КМ = ВF =ВМ.

5)ABCD – прямоугольная трапеция, поэтому СН=АВ, где СН – высота трапеции.

6)рассмотрим треугольник СНD, угол CHD = 900, СН =8, CD=10, значит, HD =6 (Пифагорова тройка)

7)пусть АК= х, тогда по свойству четырехугольника, описанного около окружности имеем (см.2)

Х+8+2+х = 18, х=4, значит AD = 13, BC=6 , Р =36.

8)ребята, давайте еще раз повторим свойства, теоремы, используемые при решении этой задач

Ученики делают внутренний и внешний круг. Демонстрируют свои знания.
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»
Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.- Чему научил вас урок?
— Какое впечатление осталось у вас от урока?
Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

фишки

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:___________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

______________________________________________________________________

 

 

 

 

Дата:                                                                                                                Класс: 10   урок 64
Тема:   Расстояния между прямыми и плоскостями
Цель урока: Образовательные: вспомнить и систематизировать те знания, которые ученики уже имеют по данной теме; активизировать работу по применению этих знаний для нахождения расстояний между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде.

Развивающие: формировать пространственное воображение, развивать логическое мышление, умение распознавать на чертежах пространственные формы; проводить доказательные рассуждения, делать выводы, используя необходимые теоремы и свойства фигур на плоскости и в пространстве.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Ученики осмысливают поставленную цель. С помощью пазлов класс делится на группы. пазлы

 

5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью приема «Эврика» осуществляет повторение пройденного материала. Ученики демонстрируя свои знания, заполняют перфокарты. перфокарты
20 мин. III. Актуализация знаний.

С помощьюметода «Подумать-сговориться-обсудить» осуществляет усвоение нового материала.Предлагает ученикам «Графический тест».

Работа по учебнику

 

 

Расстояние от точки до прямой
Расстоянием от точки до прямой

в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую

A
a

 

H

 

Расстояние от точки до плоскости
Расстоянием от точки до плоскости

в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость

A
α
H

 

Расстояние между параллельными прямыми
Расстоянием между двумя непересекающимися прямыми

в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым

H
A
a

 

b

 

 

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью

называется расстояние от произвольной точки данной прямой до данной плоскость

A
α
a

 

H

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми

называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой

A
α
a

 

H
b

 

 

Расстояние между параллельными плоскостями
Расстоянием между параллельными плоскостями

называется расстояние от произвольной точки одной из данных плоскостей до другой плоскости

A
α
H
ß

 

Задание для группы

 

1 группа

A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
В единичном кубе AD1 найдите расстояние от точки B до плоскости ADD1.
Ответ: 1.

 

В единичном кубе AD1 найдите расстояние между прямой CC1 и плоскостью ADD1.
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
Ответ: 1.

2 группа

В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между плоскостями BCC1 и ADD1.
Ответ: 4.
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
4
6

 

В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между прямыми BC и B1C1.
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
4
6
Ответ: 8.

 

3 группа

A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
4
6
В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между прямыми  AA1 и BC.
Ответ: 4.

 

В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между прямыми  AB и CD1 .
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
4
6
Ответ: 6.

 

 

Ответ: 10.
В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние от точки D1 до прямой AB.
A
B
A1
B1
C1
D1
C
D
8
6
4
По теореме о трех перпенди- кулярах
По теореме Пифагора из ∆ADD1:

 

 

 

Самостоятельно изучают новый материал.

Ученики демонстрируют свои знания. Отвечают на тестовые вопросы. Выполняют упражнения.

 

Учебник

 

Графический тест

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ромашка Блума» проводит закрепление урока.

Самостоятельное работа

1 группа

Найдите расстояние между параллельными прямой   и плоскостью

 

Очевидно, точка   лежит на прямой, которую определяютканонические уравнения прямой в пространстве  .

Получим нормальное уравнение плоскости  . Для этого приведем заданное общее уравнение плоскости к нормальному виду: вычисляем нормирующий множитель  , умножаем на него обе части заданного общего уравнения плоскости  .

Осталось вычислить требуемое расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью как расстояние от точки   до плоскости  :

 

2 группа

Найдите расстояние между прямой   и параллельной ей плоскостью  .

 

В рассматриваемой задаче прямая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Найдем координаты   некоторой точки М1, лежащей на этой прямой. Координаты точки М1 должны удовлетворять уравнениям прямой, то есть,   — частное решение системы линейных уравнений  . Найдем частное решение этой системы (при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Приняв  , приходим к системе уравнений  , откуда находим  . То есть, имеем  .

Теперь получим нормальное уравнение плоскости, которую задает уравнение плоскости в отрезках вида  . Для этого переходим к общему уравнению плоскости  . Полученное общее уравнение плоскости уже является нормальным уравнением плоскости и его не нужно приводить к нормальному виду.

Осталось вычислить расстояние от точки   до плоскости  , которое равно искомому расстоянию между параллельными прямой и плоскостью:

 

Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Ромашка Блума
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»

Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                               Класс: 10    65-66 урок
Тема:  Угол между двумя плоскостями. Двугранный угол.
Цель урока:

Образовательные: Знакомство с понятием двугранного угла и его линейного угла, обучение построению линейного угла данного двугранного угла. путем поисковой, исследовательской деятельности, показать перспективы ее использования при решении задач практического содержания, использовать материалы из истории развития числа π.

Развивающие: Развитие навыков построения перпендикуляра к плоскости, формирование конструктивного навыка нахождения угла между плоскостями, применение ТТП, развитие памяти, логического мышления, любознательности; развитие умений искать ответы на возникающие вопросы.

 

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Рисунок на спине». Ученики осмысливают поставленную цель. Рисуют рисунки. Бумага А4
5 мин. II. Проверка домашней работы. С помощью метода «КСО» осуществляет проверку домашней  работы. Ученики демонстрируют свои знания, задают друг другу вопросы.
20 мин. III. Осмысление новой информации.

С помощью метода «Подумать – сговориться — обсудить» осуществляет усвоение нового материала.

Проводит игру «Хочу спросить»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание для группы

 

1 группа: . Дана правильная четырехугольная пирамида   с ребром основания   см и высотой   см. Найти величину двугранного угла между гранями   и  .

Решение. Проведем из точки   перпендикуляр   к ребру   (рис. 5). Тогда по теореме о трех перпендикулярах  . Следовательно,   — линейный угол двугранного угла пирамиды с ребром  . Из прямоугольного треугольника   находим  . Отсюда  .

Вопрос. Какую величину в рассмотренном примере имеет угол между гранями SAB и SCD?

 

 

2 группа . В прямоугольном параллелепипеде   заданы ребра  ,   и   (см). Найдем угол между плоскостями   и  .

Решение. Заметим, что двугранные углы  ,  ,   вместе составляют развернутый угол, поэтому их сумма равна  .

Для вычисления величины угла   проведем   (рис.13). Тогда по теореме о трех перпендикулярах A1H ^ BD. Следовательно, угол ÐAHA1~— линейный для двугранного угла ABDA1. Пусть ÐADB=a. Тогда  ,  ,  . Отсюда   После этого из прямоугольного треугольника AA1H находим  .

Аналогично получается, что величина двугранного угла   также равна  . Поэтому угол   между плоскостями  и   равен либо  , если   меньше  , либо  . Так как

то  .

Из приведенного решения следует, что ответ можно записать либо как  , либо как  .

Вопрос. Как в рассмотренном примере изобразить линейный угол двугранного угла  ?

 

3 группа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ученики демонстрируют свои знания. Проводят игру «Хочу спросить». Ученики задают вопросы, читать текст.  

Учебник

 

 

10 мин. IV. Закрепление урока. По методу «Ромашка Блума» проводит закрепление урока. Предлагает ученикам тестовые вопросы.

 

 

Учащиеся отвечают на  разноуровневые вопросы. Работают с тестовыми вопросами. Тестовые вопросы
5 мин. V. Итог урока. Вы сегодня многое узнали о спряжении глаголов. Каждый воспринял новую информацию по-своему. Давайте, напишем телеграмму своим одноклассникам. (По стратегии «Телеграмма») Ученики пишут телеграммы своим одноклассникам. Оценивают свои работы.

 

 

стикеры

 

фишки

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения д/работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:_____________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:____________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:____________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                  Класс: 10     урок 67
Тема:
Цель урока: способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах.
Деятельность учителя Деятельность обучающихся Наглядности
3 мин. I. Организационный момент

Цель этапа: Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. Для создания психологической атмосферы проводит игру«Хорошее настроение».

Ученики осмысливают поставленную цель. Проводят игру «Хорошее настроение». Улыбаются друг другу.  

 

 

 

5 мин. II. Проверка пройденного материала. С помощью метода «Толстые и тонкие вопросы» осуществляет проверку знаний учащихся. Демонстрируют свои знания. Отвечают на разноуровневые вопросы. Разноуровневые карточки
5 мин. III. Подготовка к восприятию новой темы. С помощью приема «Корзина идей» проводит первичное восприятие по данной теме. Демонстрируют свои знания.

На стикерах записывают все, что знают о сложных прилагательных.

 

Корзина

 

15 мин. IV. Актуализация знаний.

Работа по учебнику.

 

Проявляют интерес к изучаемому материалу.  

Карточки

 

 

Учебник

 

10 мин. V. Закрепление урока. 

От данных слов образуйте сложные имена прилагательные. С помощью метода «Аквариум» проводит закрепление урока.

4.

 

 

 

 

 

5 мин. VI. Итог урока.  С помощью метода «Телеграмма» проводит итог урока. Заполняют  таблицу «ИНСЕРТ»

Оценивание фишками  Проводит рефлексию.

— Скажите, добились ли мы цели, которую поставили перед собой?

— Чем сегодня на уроке мы занимались и что полезного вы узнали?

-Какую трудность вы ощутили в процессе выполнения заданий?

-Что вам понравилось?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока, и отправляют своим одноклассникам телеграмму.

 

 

Оценивают работу своих одноклассников.

 

Светофор

 

Стикеры

 

 

Таблица «ИНСЕРТ»

 2 мин. VII.  Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Учеики записывают в дневниках. Дневник

 

Итог урока:__________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

 

Положительные стороны урока:________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:_________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дата:                                                                                          Класс: 10       урок 68
Тема:  Повторение  за  10 класс
Цель урока:  Развитие умения решать задачи с применением движения,  внимания, образного мышления, смекалки, сообразительности, математической речи учащихся.

. Рассмотреть различные способы решения  задачи  практического содержания.

Деятельность учителя Деятельность обучающихся наглядности
3 мин. I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха. С помощью разрезанных пазлов делит класс на группы. Ученики осмысливают поставленную цель. Делятся на группы. пазлы
5 мин. II. Мотивация к изучению нового материала.

С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости.

1.      Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата АВСD, АВМ = 300. Найдите тангенс угла АСМ. [Ответ:  ]

2.      Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата. [Ответ:  ]

3.      Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. [Ответ: ]

 

 

Ученики отвечают на вопросы учителя. карточки
20 мин. I.                  Актуализация знаний. Учитель читает ученикам притчу. Составление ассоциативной карты.

Геометрия   10 класс

 

 

 

 

 

  Задание для гшруппы

 

1.      Из точки О пересечения диагоналей квадрата АВСD к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что  ОВМ = 600. Найдите косинус угла АВМ. [Ответ: ]

2.      Сторона квадрата АВСD равна 1 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата,  АВМ = 300. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: ]

3.      Сторона квадрата равна 4 см. Точка, не принадлежащая плоскости квадрата, удалена от каждой из его вершин на расстояние 6 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости квадрата. [Ответ: ]

4.      Диагональ квадрата равна 6 см. Точка, равноудаленная от всех  сторон квадрата, находится на расстоянии 5 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до сторон квадрата. [Ответ: ]

5.                                                     Диагональ квадрата АВСD равна 10 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, угол АВМ равен 600. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: ]

Демонстрируют свои знания. Отвечают на вопросы учителя.

Ученики проявляют свои знания по творчеству писателя.

учебник

 

плакат

 

10 мин. III.            Закрепление урока. По методу «Аквариум» проводит закрепление урока.

4.      правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани – 15 см. Найдите боковое ребро.        [Ответ: ]

5.      Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите боковые ребра пирамиды. [Ответ: ]

6.      Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно её основанию. [Ответ: 13,5]

 

 

 

 

Демонстрируют свои знания.
5 мин. V.Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»
Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.
Оценивают работу своих одноклассников, пишут телеграммы.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Дерево Блоба

 

стикеры

 2 мин. VI. Домашнее задание. Объясняет особенности выполнения домашней работы. Записывают домашнюю работу в дневниках.  

 

 

Итог урока:___________________________________________________________________

 

 

Положительные стороны урока:__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 

Отрицательные стороны урока:___________________________________________________

______________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Пожалуйста, введите свой комментарий!
Пожалуйста, введите ваше имя здесь